2022 Fiscal Year Annual Research Report
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20H01791
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
齋藤 秀司 東京大学, 大学院数理科学研究科, 名誉教授 (50153804)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | モチーフ理論 / 相互層 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
モチーフの理論は数論幾何学，代数幾何学における重要な研究対象である．これに大きな進展をもたらしたVoevodskyのモチーフ理論はアフィン直線にたいするホモトピー不変性が理論の前提になっている．しかし代数幾何学の様々な基本的な不変量(例えば微分形式の層のコホモロジー)はホモトピー不変性を満たさない．当該研究では，Voevodskyのモチーフ理論を拡張し，ホモトピー不変でない不変量をも包括する新たなモチーフの理論を構築するためにVoevodskyの理論で中核的役割をはたす「ホモトピー不変性層」を拡張する「相互層」を新たに導入した．一方， Voevodskyの理論を拡張する別のアプローチとして，Binda, Park, Ostvaerによる対数的モチーフの三角圏 lDM の構築がある．本年度の成果は，相互層のNisnevichコホモロジーが対数的モチーフの三角圏lDMにおいて表現可能であることを示し，相互層の理論と対数的モチーフ理論の関係を明らかにしたことである．これを詳しく説明する．
lSmを体k上有限型な対数的に滑らかな対数的スキームの圏とし，Shv(lSm)をlSm上のtransfer構造を持つNisnevich層のなす圏とする．BindaとMerici はlDM上に自然なt-構造を定義し，そのheartがShv(lSm)のある充満部分圏lCIに一致することを証明した．本年度の成果は以下の定理である．RSCを相互層のなす圏とするとき充満忠実な完全関手 Log : RSC → lCI が存在する．さらに相互層Fとk上の滑らかなスキームXにたいし同型
H^i_{Nis} (X,F) = Hom_(lDM ) (M(X,triv),Log(F)[i]) が成立する．ここで左辺はXのNisnevichkホモロジーで，(X,triv)はXに自明な対数構造を与えた対数スキームである．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
数論幾何学，代数幾何学における重要な研究対象であるモチーフの理論に大きな進展をもたらしたVoevodskyのモチーフ理論を拡張する二つの理論，相互層の理論および対数的モチーフの理論の関係を明らかにした．具体的には，相互層のなす圏から対数的モチーフの三角圏 への自然な関手を定義し，それを用いて相互層のNisnevichコホモロジーが対数的モチーフの三角圏において表現可能であることを示した．
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| Strategy for Future Research Activity |
Voevodskyのモチーフ理論を精密化するモジュラス付きモチーフ理論を構築する．その中心的なアイデアは，滑らかな多様体をモジュラス対に置き換えVoevodskyのモチーフ理論を再構成することである．ここでモジュラス対とは，スキームXとX上の有効カルティエ因子Dとの対(X,D)でX-Dが滑らかであるようなものである．さらにホモトピー不変性の代替として，キューブ不変性を用いる．ここでキューブとは射影直線と無限遠点の対である．滑らかな多様体にたいする相互層Fは，適切な''分岐フィルトレーション''を与えることにより，モジュラス対にたいするキューブ不変層に拡張される．さらに，相互層のコホモロジーにたいして示した純粋性定理，射影束公式と滑らかなブローアップ公式およびGysin系列の存在定理はキューブ不変層のコホモロジーに格上げすることが期待される．さらに，キューブ不変層のNisnevichコホモロジーが，Kahn-Miyazaki-Saito-Yamazakiが導入したモジュラス付きモチーフの三角圏において表現可能であることを示すことが目標である．これはVoevodskyが示した「ホモトピー不変層のNisnevichコホモロジーが，Voevodskyが導入したモチーフの三角圏において表現可能である」という事実の一般化である．
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