2020 Fiscal Year Annual Research Report
Variational problems and geometric analysis for hypersurfaces with singular points, and novel development of discrete surface theory
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20H01801
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
小磯 深幸 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (10178189)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
寺本 圭佑 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 学術研究員 (10830002)
石渡 哲哉 芝浦工業大学, システム理工学部, 教授 (50334917)
可香谷 隆 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 助教 (60814431)
松江 要 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 助教 (70610046)
安本 真士 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 学術研究員 (70770543)
本田 淳史 横浜国立大学, 大学院工学研究院, 准教授 (90708611)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 変分問題 / ウルフ図形 / 平均曲率 / エネルギー極小解 / 自由境界問題 / 非等方的エネルギー / ローレンツ・ミンコフスキー空間 / 区分的に滑らかな超曲面 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、滑らかな超曲面、区分的に滑らかな超曲面、多面体（離散曲面）の全てを含む超曲面の概念である「区分的Cr級弱超曲面」に対して法線、法変分、曲率などの幾何概念を定義し、このクラスに属する超曲面に対する変分法並びにエネルギー勾配流方程式の解析法を構築することである。他方、曲面の非等方的エネルギーは、エネルギー密度関数の選択により、液体・方向性のある液晶・結晶(固体)の全ての最適形状を求める変分問題を与えるため、本研究の変分問題のモデルとするのにふさわしい。以下に、2020年度に得られた研究成果を具体的に記載する。
非等方的エネルギー密度関数が2階連続的微分可能で凸性を持つ場合については、(n+1)次元ユークリッド空間の楔状あるいは錐状閉領域における超曲面についての自由境界問題のエネルギーの極小解についての一意性定理を得た。さらに、(n+1)次元ローレンツ・ミンコフスキー空間内のグラフの平均曲率に対するHeinz型評価を統一的に得、それを応用することにより、全超平面上で定義された関数のグラフとなっている空間的及び時間的平均曲率一定（以下ではCMCと略記する）超曲面が超平面となるための、グラフを定義する関数に対する十分条件を得た。なお、非等方的エネルギーの臨界点の特別な場合として、ローレンツ・ミンコフスキー空間内のCMC超曲面も与えられる。
非等方的エネルギー密度関数が微分不可能な点を持つ場合については、いくつかの付加的条件のもとで、非等方的エネルギー極小な閉超曲面はウルフ図形（同じ体積を囲む超閉曲面の中での非等方的エネルギーの最小解）に限ることを証明した。その際、区分的に滑らかな曲線・曲面に対し、法ベクトルや曲率などの幾何概念を定義し、古典的なシュタイナー公式並びにミンコフスキー公式が成立することを証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
新型コロナウイルス感染拡大による出張の制限により、福岡県以外の大学に所属する研究分担者と対面での共同研究を行うことができなかった。そのため、曲率流についての研究が平面内の長方形領域における等方的エネルギーについての自由境界問題のみにとどまった（文字数の制限のために「研究実績の概要」欄には記載していない）。一方、予期していなかった(n+1)次元ローレンツ・ミンコフスキー空間内のグラフの平均曲率に対するHeinz型評価及びその応用という優れた研究成果を得て国際的に評価の高い学術雑誌に論文を出版することができた。また、やはり文字数の制限のために「研究実績の概要」欄に記載できなかったが、螺旋運動で不変なCMC曲面の安定性について研究して凸で安定なCMC螺旋面のクラスを得、国際学術雑誌にて論文を出版することができた。以上により、全体として「概ね順調に進展している」と言って良いと考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
以下、(i), (ii), (iii)の三つの研究課題ごとに述べる。
(i)研究課題：「区分的C2級弱超曲面」に対し、種々の幾何学量(接空間、法空間、曲率など)を定義する。方策：2020年度には、曲面の変分を多価法変分の形で表した。そして、これを用いて区分的Cr級弱凸超曲面の各点での種々の曲率を定義した。ただし、これらの定義は、滑らかな曲面についての古典的な積分公式であるSteiner公式とMinkowski公式の一般化が成立するように行った。なお、n=1の場合は「凸」なる仮定は不要であった。2021年度は、n>1の場合にも「凸」なる仮定を外して議論を進める。
(ii)研究課題：リプシッツ連続なエネルギー密度関数に対し、同じ(n+1)次元体積を囲む閉超曲面の中で、非等方的エネルギーの「良い性質」を持つ解はウルフ図形の相似のみか?また、自由境界、固定境界、部分的自由境界条件を付与して同様の課題を研究する。方策：2020年度には以下の2つの単純な場合の研究を行った。(ii-1)ウルフ図形が正多面体。(ii-2)可微分な非等方的エネルギー密度関数に対し、楔状あるいは錐状領域内の超曲面の自由境界問題。共に、付加条件下で非等方的エネルギーの極小解の一意性を証明した。2021年度は、付加条件を緩めて議論を進める。
(iii)研究課題：超曲面に対する非等方的エネルギー勾配流について、超曲面が滑らかな場合、区分的に滑らかな場合、多面体(離散超曲面)である場合を統一的に扱う方法を構築し、曲率流によって出現する超曲面の特異点を分類する。方策：2020年度は平面内の長方形領域における等方的エネルギーについての自由境界問題のエネルギー極小解を決定した。2021年度はまずこの成果を論文にまとめて学術雑誌に投稿する。そして、n=2で単純な場合（等方の場合やウルフ図形が正多面体の場合）について議論を進める。
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