2013 Fiscal Year Research-status Report
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24340030
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
井口 達雄 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (20294879)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
谷 温之 慶應義塾大学, 理工学部, 名誉教授 (90118969)
高山 正宏 慶應義塾大学, 理工学部, 助教 (90338252)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 流体 / 水の波 / 関数方程式 / 浅水波方程式 / Green-Naghdi方程式 / Boussinesq方程式 / 国際情報交換 / 中国 |
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| Research Abstract |
本研究では，水底に凹凸がある場合の水の波の浅水波近似および長波長近似の数学的に厳密な正当性を与えることを目的としている．特に，水底の凹凸の水平方向の空間スケールが水面のそれよりも非常に小さく，周期的に変化している場合を扱う．このとき，適当な無次元変数で水底を表わすとｚ＝εｂ(ｘ／ε) というグラフ状の曲面になる．ここでεは無次元パラメーターであり，関数ｂ(・) は周期関数である．
水の波は重力場の下での非圧縮・非粘性流体の渦なし流に対する自由境界問題として偏微分方程式系によって数学的に定式化される．浅水波近似は水深と比較して波長が非常に長い波として，長波長近似は無限小振幅の浅水波近似として，それぞれ特徴付けられる．昨年度は，２次元空間における浅水波近似の研究に的を絞った．本来ならば，浅水波極限と同時にε→０とする極限を調べなければならないのであるが，まず均質化過程を詳しく調べるために，先に浅水波極限を行いそれから均質化ε→０を行うことを調べた．
以上の研究を踏まえ，本年度は，長波長近似のスケーリング下でGreen-Naghdi方程式を近似したBoussinesq型の近似方程式の研究に的を絞り，浅水波近似（δ→０）と均質化（ε→０）を同時に行うことを考えた．方程式の分散項が邪魔をして昨年度使用したRiemann不変量を用いた手法は適用できなかったが，その代わりに，その分散性を最大限に利用して，エネルギー法のみを用いてその極限の数学的に厳密な正当性を与えることができた．すなわち，Boussinesq型の近似方程式の解が，当該極限において，effective KdV方程式の解に収束することを示した．そして，εという小さなオーダーではあるが，水底の凹凸により解の伝播速度が遅くなることが分かった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の予定通り，本年度はBoussinesq型の近似方程式に対して，浅水波近似（δ→０）と均質化（ε→０）を同時に行うことを考え，これら二つの極限の関係を理解することを最優先とした．そして，おおむね望みの結果を得ることができたため．
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| Strategy for Future Research Activity |
昨年度および本年度の研究実績を踏まえ，次のステップとして，Green-Nagdhi方程式に対して浅水波近似（δ→０）と均質化（ε→０）を同時に行うことを考える．本年度の研究から，エネルギー法のみを用いた解析も可能であると予想されるが，水の波の基礎方程式系に対する解析を行うためには，より精密な結果を得ることが望ましい．そのために，昨年度のRiemann不変量を用いた手法を適用することを模索したい．
今後の主要な研究方法は本年度と同様で，研究代表者，研究分担者，連携研究者が独立に行う紙面上での手計算である．そして，それを基にして互いに研究討論を行い，目的達成のための新しい視点・方法を模索する．また，国内外にて開催される研究集会に積極的に出席し，最新の研究成果の情報収集を行う．さたに，国内外の研究者を招聘し，セミナーで最新の研究成果の詳細を解説して頂くと同時に研究討論を行う．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
次年度に２名ないし３名の外国人研究者招聘を予定しており，そのための旅費が当初の計画よりも必要になったため．
次年度使用額は外国人研究者招聘の不足分に充て，残りは当初の予定通りに使用する．
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[Presentation] 水の波の数学解析2013
Author(s)
井口達雄
Organizer
第３５回発展方程式若手セミナー
Place of Presentation
ヒルズサンピア山形
Year and Date
20130827-20130830
Invited
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