2014 Fiscal Year Annual Research Report
保型超関数に付随するゼータ関数と４次形式の解析数論
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24540029
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| Research Institution | Rikkyo University |
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Principal Investigator |
佐藤 文広 立教大学, 理学部, 教授 (20120884)
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2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 概均質ベクトル空間 / ゼータ関数 / 保型超関数 / 関数等式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. WG1の共同研究により、群がSL(2)の場合の保型超関数の逆定理の証明が簡易化され、また、一般の被覆群に拡張できるようになった。その応用として、直交群の極大放物型部分群が作用する概均質ベクトル空間に対し上野隆彦が構成した2変数ゼータ関数がMaass波動形式のMellin変換となることを、二次形式が奇数変数の場合にも示すことが可能となった。
2.直交群SO(p,q)のベクトル表現が与える概均質ベクトル空間上には、Clifford代数の表現から二次写像が定義でき、これから超関数の保型対が構成できる。この保型対が直交群SO(p+1,q+1)上の保型超関数を定めることを予想している。この予想を、２つのケースで検討した。第1は、q=0で二次写像のゼータ関数が概均質ベクトル空間のゼータ関数に一致する場合である。この場合には、ゼータ関数の極の計算が可能であり、SO(p)とGL(1)の直積をLevi部分群に持つ極大放物型部分群とそのoppositeに含まれる離散群が生成する群による保型性が証明できた。第2は、p=qの場合であり、この場合には、SO(p+1,p+1)のある極大放物型部分群から定まるEisenstein級数のフーリエ係数、および、二次写像から定まる保型対のフーリエ係数を直接比較することにより、両者の一致を確認した。
3. 局所関数等式をもつ有理関数系の特徴づけ問題と関連すると思われる諸条件のうちで、代数幾何学的条件である有理関数のhomaloidal性を研究した。とくにClifford代数の表現から得られる4次形式は、非概均質的だがhomaloidalであることを示した。1次式のベキ積、4変数以下の形式、少し強い条件を課した3次形式などでは、homaloidal性は概均質性と結びつくことが既知であり、Clifford4次形式はこの面からも興味ある存在であることが判った。
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