2014 Fiscal Year Research-status Report
オービフォールド符号数の特異点並びに特異ファイバーへの応用
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24540048
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| Research Institution | Tohoku Gakuin University |
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Principal Investigator |
足利 正 東北学院大学, 工学部, 教授 (90125203)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 商特異点 / 符号数 / 安定曲線 / 連分数 / モノドロミー / デデキンド和 / リーマン面 / モジュライ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度の成果は以下の二つに大別できる。
まず一つとして, 前年度から引き続いて行っていた高次元連分数と巡回商特異点解消並びにFourier-Dedekind 和に関する一連の研究を, 論文「Multi-dimensional continued fractions for cyclic quotient singularities and Dedekind sums」として完成させ, ごく最近投稿したことである。この連分数は古典的な Jacobi-Perron の方法の一種の variation とも見ることができるが, Fujiki-Oka双有理正則写像の反復合成との対応を通じて多くの代数幾何的成果を取り入れられる点に優位性がある。上記論文に記した具体的成果としては, 有理 Chow 環の明示的記述を3次元 Fourier-Dedekind 和の連分数表示に翻訳した点があげられるが, さらに数論的応用を目指して鋭意研究中である。
もう一つは, 非超楕円的種数 3 の曲線族に対する Horikawa 指数及び局所符号数の明示的決定問題に関する前進があげられる。この場合に限らずこの種の問題全般に対する我々のアプローチは, 吉川謙一氏と共に[Adv. St. Pure Math.,2009] で示した Deligne-Mumford コンパクト化上の符号数因子の方法と, [Comment. Math. Helv.,2010] で示した符号不足数の方法を組み合わせるものである。このうち前者の方法が, リーマン面の自己同型に関する Eichler 跡公式の variation を取り入れることにより格段にシャープなものになった。その一つの応用として周期的モノドロミーを持つ種数3の族に対する上記不変量を決定することができたのである。さらに進んで安定曲線の自己同型に関する Eichler 型の議論をケースバイケースで行えるようになってきたので, 種数3については一般の擬周期的な場合も含めて解決が近いと感じており, 鋭意研究中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度掲げた目標のうち, 第一点は論文完成により達成できた。
第二点については, Deligne-Mumford コンパクト化の境界点での必要な交点形式
に関する情報を完全に得られるような形での, Eichler 型議論の一般化は現在も不明のままである。しかしながら種数3に限っては個々にそれができるようになってきた。すべてがわかってから論文を書くことにこだわらず, わかったところから書き始めるべきと感じている。
第三点については, 我々の連分数を3次体の単数群に応用すべく考察を進めているが,残念ながら現在はまだ公表すべき段階にはないと感じている。
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| Strategy for Future Research Activity |
以下の二点を中心に今後の研究を推進したいと考えている。
第一点は, 安定曲線のケーラー微分と双対化層のテンソル積層への群作用に関する固有値及び固有空間の次元等について, 作用に関する固定点での局所情報から明示的に知り, かつそれをファイバー芽の局所不変量に応用する方法を探るということである。このテーマの周辺は過去にも何度か目標に掲げ, そのつどそれなりの進展を見ているが, なかなか満足の行く形には到達しない。とはいえ得た成果の部分だけでも論文としてまとめなければいけないと思っている。
第二点は, 古典連分数の2次体の整数論へのよく知られた応用を, 我々の高次元連分数の応用として3次以上の代数体に拡張することである。このテーマ自体の歴史は非常に古くJacobi-Perron の方法及びそれの色々な variation によるアプローチ等が様々な人々によって試みられている。我々の方法は, 特異点のトーリック解消を通じて代数幾何と密接に関係しており, この点があるからこそ試みる価値があると信じている。ただ現在は必要な Lemmata を積み重ねてはいるが, まだ具体的にその歴史に付け加える成果とは言えない。そのようになることを目指すことがここでの目標である。
なお今まで同様, この科研費は国内外の研究者を集めて研究集会を開くための資金や, 多くの研究者の旅費補助等に利用したいと考えている。
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| Causes of Carryover |
毎年行っている「Branched Covering, Degenerations, and Related Topics 研究集会」が様々な都合で若干ながら規模を縮小した形で行ったため、本科研費の該当使用部分が例年より少なめになったことなどが主たる理由である。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
本年度は上記研究集会の規模を少なくとも従来規模以上にもどし、また３年程度の周期で行っていた特異点関係の研究集会も本年度は計画しているので、それらのための準備資金の一部として有効に活用したいと計画している。
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Research Products
(3 results)
