2014 Fiscal Year Research-status Report
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24540096
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
廣瀬 進 東京理科大学, 理工学部, 准教授 (10264144)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 低次元トポロジー / 写像類群 / リーマン面 / 3次元ハンドル体 / 周期的写像 / 擬アノソフ同相写像 / 組み紐群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
写像類群に関して主として次の研究を行った：
１）超楕円的ハンドル体群についての研究（金英子氏（大阪大学）との共同研究）： ３次元ハンドル体は３次元多様体を構成する上で基本的な部品となるものであり，そのため３次元ハンドル体の写像類群は非常に重要な研究対象である．この群の表示が Wajnryb により知られているが，非常に複雑であり，３次元ハンドル体の写像類群の研究は十分進展しているとは言えない．一方，閉曲面の写像類群の研究において，超楕円的写像類群の研究は重要なブレークスルーとなっていた．例えば閉曲面の写像類群の表示においては，超楕円的写像類群の表示が基本的な役割を演じていた．そこで，本年度は超楕円的ハンドル体の写像類群の表示について研究を行った．超楕円的な写像類群には，自然に，球面上の組み紐群が対応するが，超楕円的ハンドル体群への対応物としては wicket 群や Hilden 群と呼ばれる物を考える事が出来る．これらの群については Brendle, Hatcher や Tawn による表示が求められており，これらの表示をもとに超楕円的ハンドル体の写像類群の表示の表示について考察を行った．
２）零同境周期的写像の位数と一意性についての研究（圓見知生氏（東京理科大学）との共同研究）：閉曲面上の写像がその閉曲面を境界とする何らかの３次元多様体に拡張できるときにその写像が零同境であるという．本年度は零同境な周期的写像についてその位数の最大値を明らかにした．一方，閉曲面上の周期的写像について，十分大きな位数をもつ写像のある種の一意性が，Kurkarni ，笠原氏，本研究代表者等により示されているが，同様の結果を零同境周期的写像についても示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
以下の理由より，研究は概ね順調に進展していると判断した．
１）超楕円的な３次元ハンドル体の写像類群について，wicket 群，Hilden 群，自由群上の symmetric automorphism のなす群などの以前から盛んに研究が行われている群との関連が明らかとなり，この群の表示などについての考察が進展し更に群のコホモロジー等の研究への道筋がついてきた事．
２）超楕円的な３次元ハンドル体の写像類における擬アノソフ元の構成において，３次元双曲多様体のファイバー構造との関連が明らかとなって来た事．
３）今年度は零同境周期的写像について考察したが，これは３次元球面に埋め込まれた曲面上の周期的写像を含むクラスであり，４次元球面内に埋め込まれた曲面上の周期的写像の研究に深く関わる物である事．
４）周期的写像の研究に関して，グダンスク大学の Gromadzki 氏との議論をする機会を得，この研究とクライン曲面の研究との関わりに付いて新たな知見を得る事が出来た事．
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究で得られた知見を元に，位相幾何学的な観点からの写像類群の研究を引き続き行う．具体的には例えば以下の研究を行う．
１）3次元ハンドル体群についての研究：今年度の超楕円的ハンドル体群の表示についての考察を元に，３次元ハンドル体の写像類群の表示を見直し，より見通しの良い表示を与えるとともに，３次元ハンドル体のコホモロジー等についての考察を行う．さらに，超楕円的ハンドル体群のハンドル体群の基本群への作用を詳細に考察する事により，自由群の自己同型写像のなす群との関連を明らかにする．
２）向き付け不可能閉曲面上のトレリ群の有限生成系の存在やアーベル化についての研究： 向き付け可能閉曲面上のトレリ群については Dennis Johnson により有限生成系が具体的に求められている．一昨年度の研究で求めた向き付け不可能閉曲面のトレリ群の生成系についての研究を進めることにより有限生成系の存在について明らかにし，また，向き付け不可能閉曲面上のトレリ群からの Johnson 準同型を考察することによりアーベル化を求める．
３）４次元球面に拡張できる周期的写像についての研究：今年度の研究において得られた零同境周期的写像の結果を元にして，４次元球面内に埋め込まれた曲面上の周期的写像の拡張可能性についての研究を行う．
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| Causes of Carryover |
以下の３点から，次年度使用額が生じた．
１）今年度末に行う研究集会への研究者の招聘費用を確保していたが，他の研究費等からの補助が得られたため，実際の支出が少なめになった事．２）今年度予定していた国内や海外出張の計画が取りやめになった事．３）今年度得られた研究成果について研究集会で発表を行ったり，さらに研究打ち合わせを行う予定がある為に，来年度多くの金額が必要になった事．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
１）東京理科大学で行うトポロジーセミナーのための最先端の研究を行っている研究者を招聘する．２）写像類群や結び目理論を中心とする位相幾何学の諸分野について最新の成果を学び，研究成果を発表する為の他大学・研究機関（国外を含む）へ出張，特に，向き付け不可能曲面の写像類群の研究を進展させる為にポーランド等へ出張を行う．３）写像類群や結び目理論を中心とする位相幾何学の諸分野について研究打ち合わせを行うために，国内外の研究者を招聘する．４）写像類群や結び目理論の研究を進展させる為の最新のソフトウェアーを利用する為の最新の電子計算機を購入する．
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