2014 Fiscal Year Annual Research Report
| Project/Area Number |
24540125
|
|---|
| Research Institution | Kobe University |
|---|
Principal Investigator |
菊池 誠 神戸大学, システム情報学研究科, 准教授 (60273801)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2015-03-31
|
| Keywords | 不完全性定理 / 超準モデル |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
超準モデルについて：T を PA の再帰的な拡張とし，Con(T+Con(T)) を Con^2(T) と書く．M が T の超準モデルであるとき Th(M) を M における T の定理の集合とし，X = {Th(M) : M は T+ Con(T) のモデル} とする．このとき，以下の三つが成り立つことを示した．(1) X は部分集合に関する極大元を持つ．(2) M が X の極大元ならば M は Con^2(T) のモデルである．(3) M が X の極大元でないような T + Con^2(T) のモデル M が存在する．これは倉橋太志氏との共同研究である．
不完全性定理について：T を PA の拡張とする．第一不完全性定理，Rosser の定理，第二不完全性定理はそれぞれ以下のような定理である．(1) T が Σ_1 定義可能で無矛盾なら Π_1 完全でない．(2) T が Σ_1 定義可能で Σ_0 健全なら不完全である．(3) T が Σ_1 定義可能で無矛盾な理論なら T の無矛盾性は T では証明できない．さて，無矛盾性は Σ_0 健全性と同値である．この三つの定理は次の形に一般化できることを示した．(1) T が Σ_n 定義可能で無矛盾なら Π_n 完全でない．(2) T が Σ_n 定義可能で Σ_{n-1} 健全なら T は不完全である．(3) T が Σ_n 定義可能で Σ_{n-1} 健全ならば T の Σ_{n-1} 健全は T では証明できない．これは倉橋太志氏との共同研究である．
哲学的な話題について：完全性定理の哲学的意義や証明概念の形式化，ヒルベルトのプログラムに関わる問題を明らかにした．
|
