2014 Fiscal Year Annual Research Report
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24540188
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
松本 和子 東京理科大学, 理工学部, 教授 (60239093)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | Levi平坦曲面 / Levi形式 / 距離関数 / 擬凸領域 / 多重劣調和関数 / Fubini-Study計量 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ケーラー多様体の擬凸領域上の多重劣調和関数の性質を通して、領域の境界である実超曲面の性質を明らかにする研究を行った。背景には、「複素２次元射影空間には Levi 平坦な実超曲面は存在しないであろう」という予想（未解決問題）と、それに関連する Diederich-Fornaess 指数の問題がある。
昨年度までに、複素２次元射影空間内の複素および実超曲面 M に対し、M までの Fubini-Study 計量による距離関数 d の Levi form を、曲面 M の曲率に相当する量を行列を用いて表すことには成功していたが、「d の何乗の－（マイナス）」が強多重劣調和になるかを調べるには、種々の困難があった。
今年度は、この困難を解決すべく、M が複素２次元ユークリッド空間の超曲面の場合に、M までの距離関数の Levi form の新たな表示を求め、種々の自然な不等式・評価式を発見して、複素射影空間の場合に応用するための準備を行った。また、そのときに見出した方針に従って、M が複素射影空間の実超曲面の場合にも、新たな Levi form の表示公式を求めた。この表示は、Diederich-Fornaess 指数の計算に応用可能なものである。
Diederich-Fornaess 指数の評価も行ったが、最良の評価を得るには至っていない。
また、複素射影空間内の Levi 平坦超曲面の非存在予想にアプローチするには、どのような関数を調べるべきか模索していたが、「最小跡までの距離にあたる関数」の具体的表示が求まった。ただし、今のところ、特別な座標系を用いての１点での表示となっているため、その関数の解析手段がない。今後は、Levi form の表示の精密化（１点ではなく１点の近傍での表示）を行って、「最小跡までの距離にあたる関数」の解析を行うという新たな問題を見出した。
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