2012 Fiscal Year Research-status Report
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24540203
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
国場 敦夫 東京大学, 総合文化研究科, 教授 (70211886)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 四面体方程式 / ３次元反射方程式 / 量子座標環 / PBW基底 |
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| Research Abstract |
平成２４年度は主に３次元可積分性の鍵となる四面体方程式やその拡張についての研究を行った．量子座標環の表現論を再考し，Ａ型ではBazhanov-Mangazeev-Sergeev による四面体方程式の解が再現されることを確認した．Ｂ型とＣ型の場合には４次のCoxeter関係式に付随するIntertwiner の明示式を構成し，３次元反射方程式を満たすことを証明した．これはIsaevとKulishにより １９９７年に方程式が提唱されて以来の初めての解である．またこれらの方程式および解は，古典的類似(有理変換)と組合せ論的類似を持つことを示した．
年度の後半には，量子座標環のIntertwinerの行列要素が量子展開環の正部分のPoincare-Birkhoff-Witt(PBW)基底の遷移行列と一致する事を証明した．これは任意の
有限次元古典単純Lie環で成立し，SL3の場合のSergeev の結果の一般化になっている．
以上の成果を３報の論文と１報の会議報告にまとめた．最新論文１編は査読中であるがそれ以外は掲載が決定している．特に最初の論文はイギリス物理学会誌 Journal of Physics A に掲載され，2012年度のHighlight 論文の一つの選定された．また，国際研究集会 Group Theoretical Method in Physics (Chern研究所，中国，天津,８月)をはじめ，Combinatorial Representation Theory and Related Topics(京大数理研，１０月), Wuppertal 大学数理物理学セミナー(ドイツ，３月)，日本数学会一般講演(京都大学，講演は連携研究者の尾角，３月)などで発表した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成２４年度に実行した研究は，交付申請書に記載した具体的問題のリストには入っていない．しかしながらそこで扱った量子座標環には量子クラスター代数の構造をもつことが指摘されており，４面体方程式のq-振動子解には量子ダイログという関連した特徴的な関数が現れる．さらに３次元のＲ行列の適当な簡約は２次元可解模型の量子Ｒ行列を再現することが知られている．
以上のことから平成２４年度の研究は，２次元可解模型に新たな視点，特に高次元可積分性や量子クラスター代数の観点からアプローチする枠組みを与えるものである．これは研究の目的に整合しており，応募時点で想定したものより新規で有力な方策が開拓されたものといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
高次元可積分系や量子座標環の理論には未だ多くの未開拓領域があり，量子クラスター代数との関係に注目しながら研究を続行する．具体的な問題としては G2の場合に
量子座標環のIntertwiner の明示式を構成すること，q=0 おいて組合せ論的極限をもつことを証明すること(これは PBW基底の理論においても有名な未解決問題)，境界付きの層間転送行列に外部磁場を導入し，可換性が成り立つかを調べること，３次元反射方程式の２次元への簡約，Intertwiner のハイゼンベルグ表示を構成する事,格子上の量子リュービル方程式との関連などの問題を考察する．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
基本的には国内，国外の学会，研究会への参加，また連携研究者を互いに訪問し共同研究するための旅費の支出が主である．状況によっては，海外から３次元可解模型の専門家を招待して１週間ほど集中的に議論，研究交流する．そのための旅費，滞在費の支出をする．
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