2015 Fiscal Year Annual Research Report
複素鏡映群に付随するヘッケ代数とその準遺伝被覆のモジュラー表現論
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24740007
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
和田 堅太郎 信州大学, 学術研究院理学系, 助教 (60583862)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 表現論 / Hecke環 / Lie 環 / 量子群 / 複素鏡映群 / 組み合わせ論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
G(r,1,n)型の複素鏡映群に付随する巡回 Hecke 代数の準遺伝被覆である巡回 q-Schur 代数のモジュラー表現論について研究した。
研究期間全体を通じて，一般線形Lie代数のカレントLie代数の filtered deformation (変形カレントLie代数) の q-類似となる代数(量子変形カレント代数) を導入し，巡回 q-Schur 代数をその商代数として実現することにより，量子変形カレント代数を用いてそれらの表現を調べた。量子変形カレント代数については，まだ分からないことが多いが，量子群の一種とみなすことが期待でき(その根拠となる結果を幾つか得た), ヤンギアンや量子ループ代数等の表現論の類似として巡回q-Schur代数の表現論を含むより広いクラスの表現論を展開することができ，巡回q-Schur代数の表現論の背景にあるものが，明確になっていくことを期待している。
今年度(最終年度)は，複素数体上における変形カレントLie 代数，及び qが 1 のベキ根でない場合の量子変形カレント代数の有限次元既約表現について調べた。そこでは，一般的な最高ウェイト理論が展開でき，有限次元表現のなす圏を調べる上で，カレントLie代数やヤンギアン，量子ループ代数で知られている手法の幾つかのことが適用できることが分かった。また，これらの議論が integral form 上に持ち上がるであろうことも見当をつけることができた。変形カレントLie代数，及び量子変形カレント代数の表現論自体は，今後の研究課題であるが，これらの代数を導入し，その表現論を通じて，巡回q-Schur代数の表現論を理解することができるようになったことは，大きな成果である。
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