2014 Fiscal Year Research-status Report
非線形拡散方程式の解の高次漸近展開の構築とその応用
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24740107
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| Research Institution | Osaka Prefecture University |
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Principal Investigator |
川上 竜樹 大阪府立大学, 工学(系)研究科(研究院), 講師 (20546147)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 高次漸近展開 / 非線形積分方程式 / 動的境界条件 / 半線形楕円型方程式 / 相似な等温面 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は一般化された熱核を積分核として持つ非線形積分方程式の解の高次漸近展開の構築、動的境界条件付き半線形楕円型方程式の考察及び相似な等温面を持つ熱方程式の解の特徴付けの３点について研究を行った。
まず非線形積分方程式の解の高次漸近展開の構築に対しては当初の予定通り東北大学の石毛和弘教授と小林加奈子氏と共同研究を行い、積分方程式の積分核が第一漸近形となる場合に、初期値が含まれる重み付き空間の次数と高次展開の展開次数の関係、またその差の減衰評価を線形部分及び非線形部分それぞれについて考察した。本研究で扱った積分核の具体的な例としては分数冪拡散方程式や多重ラプラシアンを拡散項とする高階放物型方程式の基本解が挙げられ、線形部分における高次展開の構築においても汎用性が高いものと言える。また非線形部分に対してはある種のエネルギーを導入することにより、必要な評価を全てこのエネルギーを用いて記述することで、多様な問題に対して高次展開の構築及び関連する減衰評価の導出を容易にしている。本研究成果は既に論文として投稿し、国際雑誌に掲載済みである。
次に動的境界条件付き半線形楕円型方程式についてはComenius大学のMarek Fila氏と東北大学の石毛氏との共同研究により、劣臨界における局所非可解性を得るとともに臨界及び優臨界においては局所可解性に対する初期値の空間遠方における減衰評価の必要条件を与えた。また優臨界においてはこの評価が必要十分であることを示し、解の各点評価を得た。本研究成果も既に論文として国際雑誌に投稿し、掲載が決定している。
最後に相似な等温面を持つ熱方程式の過剰決定問題については東北大学の坂口茂教授との共同研究により、適当な条件の下、解は球対称解に限ることを証明した。本研究成果も既に論文として国際雑誌に投稿し、掲載が決定している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度の研究実績は、当初の研究実施計画の内、消散項付き波動方程式を含む消散構造を持った双曲型方程式の解の高次展開の構築には至っていないものの、それ以外の点については当初の計画以上の成果が得られていることからも概ね順調に進展していると言える。
実際、解の高次展開の構築においては、積分方程式で記述できる放物型方程式においてその第一漸近形が積分核である問題に対してはこれまでの主要部が熱方程式であるという枠組みを飛び越えて、分数冪拡散方程式や高階放物型方程式まで拡張できたことにより、より汎用性の高い有用な高次漸近展開の構築がなされたと言える。また非線形部分に対しても線形部分の評価と切り離すことにより、ここの問題への汎用性を高めることができたと言える。
また動的境界条件付き半線形楕円型方程式についてはこれまでほとんど触れられていなかった局所可解性に関して成果が得られたことにより、発展方程式としての本問題の未解決問題に対して解答を与えただけでなく、対応する楕円型方程式との関係の抽出の足がかりができたと言える。
さらに相似な等温面を持つ熱方程式に対してはこれまでの過剰決定問題とは異なった条件の下で解の幾何学的な性質を抽出しており、今後の進展が期待できる。
これら上記の結果は全て国際雑誌に掲載が決定していること、また多くの国内外の研究集会における講演を通して一定の評価を得ていることからも研究目的に対して十分順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
まず第一に本年度着手できなかった消散構造を持つ双曲型方程式の高次展開について考察したい。消散項付き波動方程式に対してもこれまでは基本解の分解からくる影響により、高次展開の展開次数に制限が付いている。ここでは特に消散項付き波動方程式を起点にこの展開次数の制限の緩和に着手したい。最近、福岡工業大学の竹田寛志氏が基本解に対する評価を勢力的に行っていることからも竹田氏と共同で研究と進めていく。
次に挙げられるのは動的境界条件付き半線形楕円型方程式と対応する非斉次Dirichlet境界条件付き半線形楕円型方程式の関係に関する研究が挙げられる。動的境界条件付きの問題において各時刻の解は対応する楕円型方程式の境界値問題の解であることからも時間発展問題からの解の可解性、特に時間局所非可解性から楕円型方程式の非可解性が誘導できれば、放物型方程式の手法を楕円型方程式に用いた新しい手法を提案できると言える。ここではこれら２つの問題の関係性を明確にすることを目的とする。本研究はこれまでの動的境界条件付きの問題の継続研究になるため、これまでと同様に東北大学の石毛氏、Comenius大学のMarek Fila氏と共同で研究を進めていく。
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| Causes of Carryover |
本年度は計算機の購入を予定していたが、１月の初めに急遽３月に台湾で開催された研究集会への参加が決まり,渡航費用が発生した。また成果発表及び情報収集のための国内研究集会への参加が頻発したことから計算機購入費を旅費に充当したため使用予定額と差が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
残額分では計算機の購入は難しいが、次年度の予算と合算することにより、予てからの最優先事項である計算機の購入を再度検討したい。また５月にイタリアで開催される "Geometric Properties for Parabolic and Elliptic PDE's 4th Italian-Japanese Workshop" における講演が確定しており、そちらの渡航費の一部としての使用も検討したい。
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Research Products
(18 results)
