2013 Fiscal Year Annual Research Report
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25247002
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
栗原 将人 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (40211221)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
松野 一夫 津田塾大学, 学芸学部, 准教授 (40332936)
八森 祥隆 東京理科大学, 理工学部, 准教授 (50433743)
小林 真一 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (80362226)
田中 孝明 慶應義塾大学, 理工学部, 講師 (60306850)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 整数論 / 岩澤理論 / セルマー群 / 国際研究者交流 / イギリス：ドイツ：中国：ベトナム |
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| Outline of Annual Research Achievements |
岩澤理論は20世紀の後半に創始された理論であるが、整数論において大変活発に研究され発展している分野、理論の一つである。岩澤理論の中核をなすのは、いわゆる岩澤主予想と呼ばれる関係である。この関係を簡潔に述べると、イデアル類群やSelmer群などの数論的に重要な群への Galois 群の作用から決まる特性多項式(代数的なもの)が、p進 L 関数というp進解析的なゼータ関数(解析的なもの)と一致する、というものである。われわれは、岩澤理論の精密化を、さまざまな観点から研究している。すなわち、イデアル類群やSelmer 群などの数論的対象物を Galois 群の作用をこめた加群とみなし、その構造を岩澤主予想(特性多項式)よりも詳しい精密な形で、ゼータ関数もしくは p 進ゼータ関数から取り出せることを研究している(この理論を精密化された岩澤理論と呼んでいる)。ひとつの定式化は、イデアル類群や楕円曲線のSelmer群、あるいはもっと一般のp進表現のSelmer群のような数論的対象物に対して、その高次Fittingイデアルをゼータ関数起源の元で書き表す理論を作ることであり、さらにはその理論の一般化、精密化について研究している。また、この理論とさまざまな予想との関係についても研究している。さらに、ゼータ関数の特殊値と代数的対象物とのつながりについて、新しい観点から研究を進めている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
イデアル類群に関する構造定理を一般のGalois表現に伴うp進表現(いくつかの条件はつける)に一般化するには、さまざまな困難がともなった。しかし、その困難をひとつひとつ克服して、円分Zp拡大上のSelmer群に対して、高次のFittingイデアルに関する代数的なものと解析的なものをつなぐ等式が得られたことは大きな成果であった。(複数の)論文にきちんとした形でまとめることもできた。
また、Stark予想に関して、新しい観点からのアプローチを行った。同変玉河数予想との関係は、今までBurnsの研究などで知られてはいたが、今までにはない明瞭な形で、Artin L関数のleading termの意味を代数的な対象(コホモロジーのFittingイデアル)で表す公式を得た。この式は、上記の岩澤理論の精密化と深い関係を持っている点でも大変興味深いものである。この成果は、Burnsとの共同研究で、この共同研究のため、2014年2月にイギリスのロンドンを訪れた。
ミュンヘン防衛大のGreitherとの共同研究では、今までまったく手がつかなかった、1のp冪根を含む場合の、古典的イデアル類群(修正をしない古典的イデアル類群)のFittingイデアルについて、今までの研究とは違う形の式を、分岐についての条件はつけているものの、得ることに成功した。この共同研究のため、2013年の9月にドイツのミュンヘンを訪れた。
また、ベトナムのハノイで2013年7月にPan Asian Number Theory Conferenceを組織委員の一人として行い、多くの新しい知識を得た。
以上のように、この年度に得られた成果は多く、この研究は当初の計画以上に進展していると考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
上記の「現在までの達成度」の欄で述べた研究をさらに発展させていきたいと考えている。
特に、Stark予想に関する研究については、Rubin-Stark元と同変玉河数予想に現れるゼータ元との関係がはっきりとわかったので、このことを一般化したいと考えている。特に、岩澤理論的な観点からこの研究を進めていきたい。このとき、Rubin-Stark元からp進L関数的なものが得られ、負の整数点と0での値が結びつく一般的な現象がとらえられると考えている。さらには、この理論の非可換化の研究も進めたい。また、Tate motiveだけでなく、一般のmotiveに対しても、この考えを一般化することによって、研究していく予定である。
Greitherとの共同研究も、Zp拡大上ではなく、有限次代数体上でどのようなことがわかるか考えたい。また、分岐に対して現在は強い条件がついているので、その条件をはずしたときの様子を調べていく。
イデアル類群の構造定理の一般化については、重さが2より大きな保型形式のSelmer群をこの方法で調べる。また、困難があったため今までできていなかったp=2での成分を本格的に考える。さらに、Rubin-Stark元やその一般化を用いて代数体上のSelmer群の一般的な構造定理を得ることも研究する。
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