2014 Fiscal Year Annual Research Report
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25247002
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
栗原 将人 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (40211221)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
松野 一夫 津田塾大学, 学芸学部, 准教授 (40332936)
八森 祥隆 東京理科大学, 理工学部, 准教授 (50433743)
田中 孝明 慶應義塾大学, 理工学部, 准教授 (60306850)
小林 真一 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (80362226)
藤井 俊 金沢工業大学, 基礎教育部, 講師 (20386618)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 岩澤理論 / 整数論 / Selmer群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
岩澤理論は、整数論の中で大変活発に研究され発展している分野、理論のひとつである。岩澤理論の中核をなすのは、いわゆる岩澤主予想と呼ばれる関係である。この関係を簡潔に述べると、イデアル類群や楕円曲線のSelmer群さらにはその一般化にあたるさまざまなcohomology群などの数論的に重要な群への Galois 群の作用から決まる特性多項式(代数的なもの)が、p進 L 関数というp進解析的なゼータ関数と一致する、というものである。われわれは、代数的なものとp進解析的なものとの間に上記のような特性多項式以上の詳しい関係がある、という岩澤理論の精密化について、さまざまな観点から研究している。また、ゼータ関数、L関数の整数点での値(特殊値)と代数的対象物との間のつながりについて、新しい観点から研究を進めている。
この年度に得られた成果について述べると、まず、有理数体上に定義された楕円曲線のSelmer群の構造について、モジュラー記号を用いた新しい方法で、その構造を決定する定理を得た。また、その方法でたくさんの数値例を計算した。さらに進んだ構造に関する結果も得た。
一般の代数体上のL関数の値に対応する代数的な対象物として、Rubin Stark元というものがあるが、King's College LondonのBurnsおよび佐野昂迪との共同研究により、この元の同変玉河数的観点からの新しい解釈を得て、それをSelmer群のGalois加群構造の研究に応用した。また、任意の代数体上に岩澤主予想を一般化して、任意の整数点に対応するRubin Stark元の理論も構築した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
実績の概要のところにも述べたように、有理数体上に定義された楕円曲線のSelmer群の構造について、モジュラー記号を用いた新しい方法で、その構造を決定する定理を得た。さらに、Rubin Stark元に関する研究も、さまざまな点で大きく進展した。たとえば、イデアル類群のGalois加群構造を決める構造定理に同変玉河数予想的観点から新しい証明を与え、さらにその一般化を行ったこと、ある種のコホモロジー群のGalois加群構造に関する定理を得たこと、任意の代数体上に岩澤主予想を一般化したこと、任意の整数点に対応するRubin Stark元の理論も構築したこと、などである。
2014年6月にアメリカのBoston大学で行われた国際研究集会、および2015年3月にイギリスのCambridge大学で行われた国際研究集会で、研究代表者の栗原が上記の新しい成果についての講演を行った。
また、以上の成果については、さらなる発展が見込まれる。
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| Strategy for Future Research Activity |
上記の 「現在までの達成度」 の欄で述べた研究は、さらなる発展が期待できるため、今後もこれらの問題を推進していく予定である。
まず、Rubin Stark元をp進familyとしてとらえる研究を発展させたいと考えている。このような岩澤理論的ふるまいはKummerの合同式の膨大な一般化であり、この理論とさまざまな理論とのつながりを研究していく予定である。
また、楕円曲線のSelmer群の構造定理を、重さが2より大きい保型形式の場合に一般化して、たくさんの数値例を得たいと考えている。p=2の場合も本格的にきちんと考えていく。
また、古典的岩澤加群のFittingイデアルを考えるという問題に関しては、岩澤主予想の同変版を新しいTate系列を考えることによって、進めていきたいと考えている。この方面については、Greitherとの共同研究により、さまざまなことがわかってきているのだが、分岐について現在ついている条件をはずすことを目標に、研究していく予定である。
次年度も、情報を発信するため、また新しい情報を手に入れるために、海外出張を予定している。
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