2015 Fiscal Year Annual Research Report
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25247008
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
利根川 吉廣 東京工業大学, 理工学研究科, 教授 (80296748)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
高坂 良史 神戸大学, 海事科学研究科(研究院), 准教授 (00360967)
石井 克幸 神戸大学, 海事科学研究科(研究院), 教授 (40232227)
神保 秀一 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (80201565)
水野 将司 日本大学, 理工学部, 准教授 (80609545)
山田 澄生 学習院大学, 理学部, 教授 (90396416)
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| Project Period (FY) |
2013-05-31 – 2018-03-31
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| Keywords | 平均曲率流 / 変分問題 / 極小曲面 / 幾何学的測度論 / 特異点 / 正則性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平均曲率流は、研究課題名にもある動的幾何問題の中でも最も重要な問題のひとつであり、近年国内外で活発な研究が行われている．研究代表者は特に平均曲率流が特異点を持つような、一般化された枠組みでも定義できることに着目し、幾何学的測度論の概念を用いて定義されるBrakkeの平均曲率流の解析についての研究を進めている．27年度も引き続きBrakkeの平均曲率流に注力して研究を進めると共に、国内の幾何学的発展問題、特に平均曲率流とリッチ流の研究者の研究交流の醸成を図った．27年度の主となる研究実績は、 Lami Kimとの共同研究である．この共同研究では、ｎ＋１次元ユークリッド空間の中で任意のｎ次元閉集合を与えたとき（ただし面積は有限であるか、あるいは無限遠近傍で指数関数程度の面積増加を許す）、その集合を初期データとして時間発展するBrakkeの平均曲率流の時間大域存在を証明した．初期データに課す正則性の仮定は、単に可算修正可能性のみであり、非常に広いクラスの集合に対する結果である．また時間発展するにあたって様々なトポロジーの変化を許すもので、ｎが１の場合であっても革新的な結果となっている．証明手法としては、Brakkeの構成方法を全般的に見直し、有限個の開集合の境界として平均曲率流をみなして、離散時間的に近似解を構成し、極限をとるというものである．各離散時間は２つのステップを含み、一つは制限されたある種の測度最小化を行い、もう一つは界面をスムージングして近似平均曲率を求め、その近似平均曲率で界面を動かすものである．論文は査読中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
27年度に完成したBrakkeの平均曲率流の存在定理は、当該研究課題で挙げた大きな目標の一つであり、それが3年目にして完成したため．結果は当初予想していたよりも一般的かつ決定的なものであり、仮定と結果はほぼ最良といえる．また査読のプロセスも順調に進んでおり、予想外に非常に詳細に査読者が論文を読んで様々なフィードバックをくれたことも研究の進展にプラスになっている．
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| Strategy for Future Research Activity |
当面の目標としては、我々の証明した平均曲率流の特異点近傍の解析である．予想として、特に1次元の場合については静的なタンジェントフローの分類ができる可能性が高く、28年度にその解析を行いたい．
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Research Products
(12 results)
