2016 Fiscal Year Annual Research Report
Variational analysis on dynamic geometric problems
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25247008
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
利根川 吉廣 東京工業大学, 理学院, 教授 (80296748)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
高坂 良史 神戸大学, 海事科学研究科, 准教授 (00360967)
石井 克幸 神戸大学, 海事科学研究科, 教授 (40232227)
水野 将司 日本大学, 理工学部, 准教授 (80609545)
山田 澄生 学習院大学, 理学部, 教授 (90396416)
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| Project Period (FY) |
2013-05-31 – 2018-03-31
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| Keywords | 平均曲率流 / 変分問題 / 極小曲面 / 幾何学的測度論 / 特異点 / 正則性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平均曲率流は動的幾何問題の中でも最も重要な問題のひとつであり、近年国内外で活発な研究が行われている．研究代表者は特に平均曲率流が特異点を持つような、一般化された枠組みでも定義できることに着目し、幾何学的測度論の概念を用いて定義されるBrakkeの平均曲率流の解析についての研究を進めている．
28年度はLami Kimとの共同研究で得た一般的なBrakkeの平均曲率流の存在定理に立脚して、その解のより詳しい特徴付けについて研究を行った．この存在定理では時間離散的に解を構成していくのであるが、その各ステップに局所面積最小化を行っている．その為、特に一次元の場合のBrakkeの平均曲率流については特異点形状が非常に限定的になる可能性がある．アイデアとしては一次元の場合は特に平均曲率の2乗可積分性があるため、それを有効に用いてAllard型の正則性定理を時間離散的に定義された近似流に対して適用することである．この研究については引き続き29年度も続けていく．
またこれらとは異なる方向として、可香谷隆との共同研究で、varifoldに対する境界固定角度条件について研究を行い、新たな一般化された意味での角度条件および境界近傍における単調性公式を得た．研究発表としてはOberwolfach研究所（ドイツ）、幾何シンポジウム（岡山大）、オーストラリア国立大、上海ニューヨーク大学等で行い、活発な情報意見交換を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Lami Kimとの共同研究結果の論文は比較的長いものであり受理に関して懸念があったが、非常に注意深く査読者が読んでくれたこと及び若干の修正を経た後無事出版に至ったことは幸いであった．結果は既に結晶粒界の平均曲率流の専門家から複数引用されており、当該分野の基礎的な結果になると考えられる．
一方でこの解の性質については存在およびある種の部分正則性の結果以上の知見はない．しばらくは手探り状況になると思われるが、一次元の場合などに関してはある程度研究が進んでいるため、順調に進展していると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
29年度はカリフォルニア大学バークレー校において、大学院や若手研究者向けのサマースクールの連続講演を行い、またフィールズ研究所（カナダ）においてリッチ流及び平均曲率流に特化した研究集会において講演するなど、研究成果に関する情報発信にも注力する予定である．
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Research Products
(15 results)
