2013 Fiscal Year Annual Research Report
無限次元タイヒミュラー空間上のヴェイユ・ピーターソン計量の研究
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25287021
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Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
松崎 克彦 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (80222298)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
谷口 雅彦 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (50108974)
須川 敏幸 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (30235858)
小森 洋平 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (70264794)
佐官 謙一 大阪市立大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (70110856)
中西 敏浩 島根大学, 総合理工学研究科(研究院), 教授 (00172354)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 複素解析 / 双曲幾何 / 幾何学的群論 |
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| Research Abstract |
普遍タイヒミュラー空間に一般化されたヴェイユ・ピーターソン計量を導入するために，まず基礎となる可積分部分空間による普遍タイヒミュラー空間のアファイン葉層構造について調べた．通常のタイヒミュラー空間は単位円板上のベルトラミ微分の空間を使って表現されるが，p 乗可積分タイヒミュラー空間 (p>1) は，双曲計量に関してp 乗可積分なベルトラミ微分に制限して定義される普遍タイヒミュラー空間の部分空間（正則な埋め込み）である．一方，タイヒミュラー空間はベアス埋め込みという写像により，単位円板上の正則２次微分のなすバナッハ空間の領域と同一視される．p 乗可積分タイヒミュラー空間に対しては，単位円板上の p 乗可積分 (p>1) な正則２次微分形式からなるバナッハ空間を考える．ベルトラミ微分の空間と正則２次微分の空間の分解がベアス埋め込みにより対応することを証明した．２乗可積分な場合にはTakhtajan-Teo による証明があるが，応用性のある簡略化にも成功している．このアファイン葉層構造を基にして，２乗可積分な場合は Cui, Takhtajan-Teo はヴェイユ・ピーターソン 計量を導入したが，それを一般化し，p 乗ヴェイユ・ピーターソン計量をもつ部分空間による普遍タイヒミュラー空間の葉層構造を与えた．また本来あるタイヒミュラー距離との関係，ベルトラミ微分の可積分ノルムによるヴェイユ・ピーターソン距離の評価などの基本的性質を証明した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究成果について他分野の研究者から関心をもってもらい，多くの講演の機会が与えられた．現時点で得られている結果は計量をもつ空間の基礎付けの部分であるが，今後の計量の幾何の研究に向けての順調な準備となっている．
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究で計量の導入に関する準備ができたので，次年度以降は目標である計量の幾何学的性質をどのように定式化するかに重点をおいて研究する．海外の研究者の研究動向も調査し，より広い視点に立った理論の構築をめざす．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
外国人研究者を招聘して関連した研究を調査する勉強会が準備の都合と研究の進展状況により延期となった．
適切な時期に外国人研究者の講演を交えた小グループの勉強会を開催する．
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