2014 Fiscal Year Annual Research Report
無限次元タイヒミュラー空間上のヴェイユ・ピーターソン計量の研究
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25287021
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
松崎 克彦 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (80222298)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
谷口 雅彦 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (50108974)
須川 敏幸 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (30235858)
小森 洋平 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (70264794)
佐官 謙一 大阪市立大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (70110856)
中西 敏浩 島根大学, 総合理工学研究科(研究院), 教授 (00172354)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 複素解析 / 微分幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ヘルダー連続微分をもつ円周の微分同相写像のタイヒミュラー空間について，ベルトラミ微分のノルムから誘導される位相と微分同相写像のノルムから誘導される位相が同値であることを示した．その結果として，このタイヒミュラー空間は群構造に関して位相群となることが証明できた．ベルトラミ微分のノルムは双曲計量の重みをつけた上限ノルムを与え，そのような歪曲係数をもつ単位円板の擬等角同相写像の境界拡張が円周の微分同相写像となり，その１階微分までのヘルダーノルムが評価できることを証明した．逆向きの評価のためには，このような微分同相写像の等角重心拡張の歪曲係数を評価する方法を開発し，それが実行できた．Earle による微分同相写像の等角重心拡張に関する論文の方法を改良した．結果としてこのタイヒミュラー空間が可縮であることもわかった．
距離空間の凸性の一般化について研究し，等長変換群が有界軌道をもつならば固定点をもつような距離空間の特徴づけを行った．p-一様凸性と正規構造の関連を考察し，一様凸性の拡張概念を得た．研究目標としては，一般化された Weil-Petersson 計量をもつタイヒミュラー空間が，これらの性質をもつことを証明する．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Weil-Petersson 計量の応用として予定している円周の微分同相写像の共役と剛性の問題について，その基礎となるタイヒミュラー空間の構成をこれまでの研究では行ってきた．Weil-Petersson 計量は可積分タイヒミュラー空間の上に導入されるが，普遍タイヒミュラー空間の部分空間として微分同相写像のタイヒミュラー空間には共通点も多く，その理論がほぼ出来上がったことは，研究の進展，経過として順調であるとみることができる．
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| Strategy for Future Research Activity |
可積分タイヒミュラー空間に p-Weil-Petersson 計量を導入し，その幾何学的な性質を考察することを開始する．（１）距離の完備性（２）タイヒミュラー計量との比較（３）ベルトラミ係数の p-ノルムによる距離の評価を基本的な証明課題とし，それに付随する結果を集めていく．その後，計量のもつ凸性についての研究に主題をうつし，まず，どのような凸性の概念が p-Weil-Petersson 計量に適合するかを調べるところからはじめる．
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| Causes of Carryover |
予定していた関連する研究を行う海外の研究者を招聘しての研究打ち合わせを延期した．理由は，現在までのところ研究の進展が順調で，研究協力者を含めた研究体制のなかで必要な問題解決がなされているため，新しいアイデアを求める緊急の必要性がなかったことによる．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
研究者招聘に使用する．関連する研究集会での講演を通して，研究課題の発展性について議論する機会を得る．
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