2015 Fiscal Year Annual Research Report
無限次元タイヒミュラー空間上のヴェイユ・ピーターソン計量の研究
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25287021
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
松崎 克彦 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (80222298)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
須川 敏幸 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (30235858)
佐官 謙一 大阪市立大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (70110856)
中西 敏浩 島根大学, 総合理工学研究科(研究院), 教授 (00172354)
小森 洋平 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (70264794)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 複素解析学 / 微分幾何学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
普遍タイヒミュラー空間の部分空間である可積分タイヒミュラー空間を，等角重心拡張により単位円板の擬等角自己同相写像として表現する問題については，Cui による先駆的な研究があるが，柳下はそれをフックス群作用のある場合に拡張し，リーマン面の可積分タイヒミュラー空間の理論をつくった．一方，ヘルダー連続微分をもつ単位円周の微分同相写像のタイヒミュラー空間の研究においても，等角重心拡張により定義されるタイヒミュラー空間からベルトラミ微分の空間への写像（タイヒミュラー射影の切断）の連続性は重要な性質であり，前年度までの研究で証明を与えている．本年度は柳下と共同で，リーマン面の可積分タイヒミュラー空間の元から等角重心拡張でつくられるリーマン面上の擬等角写像は，漸近的等角であることの直接的な証明を与えた．
今後の複雑な計算に対応するため，数式ソフト Mathematica を導入した．演習として，１点穴あきトーラスの単純閉測地線の双曲長さを計算するプログラムをつくり発表した．また，その成果を援用して，正方トーラスのアーベル被覆としての整格子点を除く平面上に，双曲計量から誘導される距離を考えたとき，カスプ近傍を除けば，それは平面上のある実ノルムから定まる距離と定数１の擬等距離同値であることを実験的に発見した．
その他直接には研究課題と関係しないが，無限次元タイヒミュラー空間につながる問題として，無限型リーマン面のショットキー一意化について研究した．リーマン面が無限生成の古典的ショットキー群で一意化できるための擬等角同値類の必要条件および十分条件をそれぞれ与えた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
可積分タイヒミュラー空間の一般化されたヴェイユ・ピーターソン計量について，その幾何学的な性質を調べることが研究課題の中心であるが，タイヒミュラー計量との比較や誘導される距離のベルトラミ微分のノルムでの評価など基本的なことまでができあがった状態である．目標とする距離の凸性に関連する問題は，手がかりがみつからず，本質的な進展はみられていない．
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| Strategy for Future Research Activity |
可積分タイヒミュラー空間の一般化されたヴェイユ・ピーターソン計量について，得られた結果を論文にまとめることから出発し，問題点を認識し，計量のどのような性質が本質的に重要かを考え直す．とくに，接空間となる可積分正則２次微分のバナッハ空間による局所的な近似が，どのように有効かを調べる．
関連する円周の微分同相写像のタイヒミュラー空間については，様々な展開が派生しているので，理論の進展する方向に関しては多少本来の研究目標からはずれても深く追求する．
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| Causes of Carryover |
外国人研究者を招聘し，セミナー講演での謝金を用意していたが，国際研究集会に参加してもらって，その場で講演および研究連絡をしたため，謝金の必要がなくなった．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
外国出張旅費として使用する．
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