2015 Fiscal Year Research-status Report
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25400006
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
澤邉 正人 千葉大学, 教育学部, 准教授 (60346624)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 有限群 / 単体複体 / クイバー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１．ベキ零部分群複体：有限群 G の位数を割り切る素数 p に対して X を G の非自明な p-部分群から成るある部分群族とする. X を poset と見なし, さらにその poset に付随する順序複体と同一視する. この X を G の p-部分群複体と呼ぶ. p-部分群複体それ自身は, これまで多くの研究者により考察されている. 一方, 相異なる素数 p,q に対して p-部分群複体と q-部分群複体を同時に観察することは群論的に極めて重要である. そこで素数の集合πに対して, ある種のベキ零π-部分群から成る部分群族 Lπ(G) を新たに導入し, ホモトピー同値性などの基礎理論を整備した. この部分群族は, p-部分群複体や, 有限群論の中で極めて重要な根基部分群の概念を含む. 本研究の中では, 対称群に対する Lπ(G) の分類も行った. この結果は Osaka J. Math. に掲載予定である.
２．代数に付随するホモロジー：我々の研究対象は部分群複体である. 複体の性質を調べる手段として, そのホモロジーがある. ここでは複体のホモロジーを含む新しい概念を導入した. モデルは単体複体であり, これは自然にクイバーと見なすことが出来る. さらにクイバーにはパス代数が付随している. ここで着目すべきことは, パス代数の加群としての自由基はパス全体という特別なものを使っている. 同様に群代数の自由基も群自身である. そこで結合代数 A と A の自由基 B を一つ固定し, 組 (A,B) に付随するホモロジーを新たに導入した. ここでは一般論の整備を行い, 群や群指標, 或いは半束などを用いた多くの具体例を提示した. これらは今後の研究推進のための準備である. この結果は Hokkaido Math. J. に掲載予定である.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
p-部分群複体に関する先行研究結果は数多く存在している. しかしながら p-部分群と q-部分群の複体の張り合わせや, より一般にπ-部分群複体の理論はこれまで強く求められていたにも関わらず, 実現してこなかった. 本年度の最大の研究成果は, π-理論を大きく推し進める可能性を秘めた, ベキ零π-部分群複体 Lπ(G) を探り当てたことである. 部分群自身の性質, およびホモトピーに関する性質共に, 理想的な振る舞いを見せている. 今後の主要な研究対象である. 一方, 部分群複体をクイバーと見なし, 付随するパス代数やその表現を用いて, 元の複体を考察していく研究も並行して行われている. その一環として, 一般の結合代数に付随する新しいホモロジーを導入した. これは今後の研究を大きく推進させる強力な武器となる. 以上の理由から, 本研究はおおむね順調に進展していると判断するものである.
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度の研究成果を踏まえて, Lπ(G) に関する一般論の強化を図ることが第一の研究課題である. 具体的にはπの部分集合と Lπ(G) の部分複体の間にあると予想される相互関係を明らかにする. 加えて, 一般線形群をはじめとする種々の行列群や, 散在型有限単純群の Lπ(G) を完全に分類し, それらが作る幾何を決定する. さらに具体的に分類した複体 Lπ(G) に関して, 本年度我々が導入したホモロジーの計算を遂行する. その計算結果を用いて, 可解群やベキ零群の特徴づけを行う. 一方, Lπ(G) は素数の集合πに対するある種のπ-部分群の族である. そこで, πを有限群 G の素数グラフ Γ(G) に対する頂点集合の部分集合と考え, 複体 Lπ(G) とグラフ Γ(G) との関係も明らかにする. 具体的には Lπ(G) をクイバーと見なし, 指標環を対応させるような Lπ(G) 上の表現を考える. このとき Γ(G) が連結であるための必要十分条件をクイバーの表現を用いて記述するという研究課題を設定する.
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