2013 Fiscal Year Research-status Report
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25400036
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Tokyo University of Agriculture and Technology |
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Principal Investigator |
山形 邦夫 東京農工大学, 工学(系)研究科(研究院), 名誉教授 (60015849)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 有限次元多元環 / フロベニウス多元環 / 森田多元環 / 森田不変 / 国際研究者交流 / ドイツ：中国 |
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| Research Abstract |
有限次元多元環の有限次元表現の研究で最も重要な場合の一つにフロベニウス多元環（自己入射的多元環）がある。フロベニウス多元環を一般化する最初の試みとして、１９５８年に森田紀一によってフロベニウス多元環上の忠実加群の準同型環の研究が行われた。
近年、森田の定理の見直しが代表者とO.Kernerによって行われ、森田の研究した凖同型多元環を森田多元環と命名し、有限次元多元環が森田多元環であるという性質は、その多元環の体双対加群の多元環双対が二重中心化性をもつことと同値であるという定理を２０１３年に発見した。この定理は多元環双対が階数１の自由加群になる場合の特徴付けをも導き、M. Fang-S.Koenig が研究した対象多元環上の森田多元環に関する定理を含む理論を構築するものである。
本科研による本年度の研究ではこの理論で重要な役割を演ずる多元環双対の加群としての性質をより一般的な条件の下で明らかにすることを目指した。その結果、森田多元環上の多元環双対について、左または右加群としての射影性と生成素であることとが同値であることを示すことができた。さらにそれらの性質が森田不変であることを明らかにした。これらの応用として、多元環双対が忠実射影的である多元環は森田多元環であることを導き、さらにこのような多元環を構成する方法も明らかにできた。とくに森田多元環が基礎的な場合には、多元環双対の射影性は階数１の自由加群であることと同値であることも示すことができた。これらの成果は、フロベニウス多元環の表現をそれが引き起こす森田多元環を介して調べるという新たな研究方法を示唆するものと考えられる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
森田多元環の研究で最も重要と思われる多元環双対について、射影性と生成素の森田不変性を示すことができた。これによって多元環双対の左または右加群としての射影性と生成素であることとが同値であることを発見し、さらに射影的多元環双対を有する森田多元環を決定することができた。これらの成果は期待以上のものであったが、一方フロベニウス多元環上の加群に付随する森田多元環と加群との表現論的関係や圏論的関係などは今後の研究課題となった。
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| Strategy for Future Research Activity |
フロベニウス多元環の表現の研究のために、表現に付随する森田多元環と表現との関係の解明を目標とする。このために、ガロア被覆との関連や多元環双対のもつホモロジー的性質、とくに大域次元や制御次元などの数値的関連について調べる。この研究の遂行のために国内外の研究者との情報交換を行い、とくに海外共同研究者との交流を積極的に進める。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
次年度使用額が生じた理由は、旅費について(滞在先での滞在費一部援助などがあり）使用予定額を減額することができ、それにより研究に必要な物品を購入した残金として残ったものである。
次年度使用額は次年度の研究旅費（海外共同研究者の招聘や代表者・連携研究者の国内外旅費）の補助として使用する予定である。
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