2013 Fiscal Year Research-status Report
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25400052
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Rikkyo University |
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Principal Investigator |
塩田 徹治 立教大学, 名誉教授, 名誉教授 (00011627)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 代数幾何学 / モーデル・ヴェイユ格子 / 有理楕円曲面 / ３次曲面と２７直線 / ピカール数 / ワイヤストラス変換 / 高種数ファイブレーション / K３曲面 |
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| Research Abstract |
平成２５年度は、主に「研究の目的」欄のテーマ（A） について研究した．まず有理楕円曲面の（加法的ないし乗法的）卓越族の構成が最も肝要であったが、加法的な場合は１９９０年代に確立されていた。永年未解決であった例外型 E_6, E_7, E_8 の乗法的な卓越族の構成は、最近，研究代表者と A. Kumar (MIT)により達成された．すなわち、E_6の場合研究代表者（２０１２年日本本学士院紀要）により、またE_７とE_８の場合は、Kumar ー塩田の共著論文（雑誌 Algebra and Number Theory ）において解決された．これらの結果を整数論および代数幾何学における具体的な数学的対象に応用して、その成果を確認した．たとえば「３次曲面とその上の２７本の直線」は１９世紀半ば以来の長い歴史をもつ代数幾何学の古典的課題であるが、我々の方法は、これに新たな光を当て、意義のある新結果を与えることが出来た．特に、２７本の直線がすべて有理数係数で定義される３次曲面の（６個のパラメータをもつ）族を構成できる．しかも、加法的および乗法的な卓越族に応じて、２通りの構成が出来る．これらを、簡明なアルゴリズムとして定式化することにより、数学的に正確な描画が可能となる．これを実行してこの古典的問題の理解を深めることができた．さらに、パラメータを動かすことにより、３次曲面が特異点をもつ状況も精密かつ具体的に記述される．以上の結果は「３次曲面と２７直線の構成に関する２つのアルゴリズム」と題する論文（英文）にまとめ，２０１３代数幾何ミニ研究集会（埼玉大学）の報告集に発表した。また学会発表「ワイヤストラス変換と３次曲面」では，射影平面上の６点が与えられたとき，これをブローアップして生じる３次曲面と２７直線の定義方程式を，ワイヤストラス変換を用いて具体的に求める方法を公表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
交付申請書に記載した「研究の目的」では，次の具体的テーマ （A,B,C,D）を挙げた：A. 有理楕円曲面の（乗法的または加法的）卓越族の構成とガロア表現・代数方程式論への応用．３次曲面をはじめとする代数幾何学の古典的問題への応用．及びモーデル・ヴェイユ格子の退化と特異点の変形の解明, B. 正標数のK３曲面のモーデル・ヴェイユ格子の構造の研究，C. 代数曲面のピカール数と代数的サイクル，D. 関数体上の楕円曲線のランク問題とマニンの写像
上記「研究実績の概要」で記載したように，テーマ A については今年度中に所期の成果を得ることが出来た，さらに，テーマ C について「高種数のファイブレーションのモーデル・ヴェイユ格子」という新たな着想を得たので，これを次年度において十分に吟味して，研究を進展させることが可能となったと考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
上にも触れたが，代数曲面の「高種数曲線によるファイブレーション」に対するモーデル・ヴェイユ格子という視点は，従来の申請者の研究において，その基礎付けは１９９０年代に確立してあったが，十分な活用の場を見出せなかった。しかし、この方法が、フェルマー曲面等の研究に極めて有効なことが最近確認された（年度末近く）ので，今後集中的に研究する予定である。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
研究代表者の健康上の理由により，海外研究者との研究交流のための当初計画していた海外出張をとりやめたため。
次年度あるいは平成２７年度に，海外研究者との研究交流のための海外出張および招聘を実現させる。
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Research Products
(3 results)
