2013 Fiscal Year Research-status Report
微分方程式論の基礎となる接触織物理論と関連する種々の幾何構造の研究
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25400067
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
佐藤 肇 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 名誉教授 (30011612)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 接触織物 / ジェット空間 / 最大等方空間 |
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| Research Abstract |
この研究の目的は，数理解析的現象を記述する微分方程式系の解を，幾何学的に接触織物理論として捕らえて解析することである．微分形式を用いて研究される微分幾何や，環論を用いる代数幾何の手段が使えて，幾何構造の間のツイスター対応から，隠された統一性が発見されることが期待できる．力学系の相空間には（高次) の接触構造が入っていて，微分方程式の解の接束は接触形式を消しているから，織物を与える各葉は接触形式の等方的部分多様体となり，織物は接触織物となる．
その研究のための第一段階として，高階の接触形式を，ジェット空間上のトートロジカル形式として捕らえ，その性質と等方空間全体のなすGrassmann 多様体の位相的性質を各次元毎に調べることが重要になる．これに関しては，これまでの他の研究者の結果が難解でわかりにくいものであったので，それを明解に書き直すことに成功した．
等方空間全体の多様体にファイバー空間の繰り返しとしての構造を与え，各段階のファイバーの代数的構造の基底を具体的に調べて，その次元を計算し，それらを総合して全体を見ることが可能になった．この副産物として，他の研究者により発表されている論文の不正確な部分を発見し，訂正することも出来た．さらに低次元の場合の具体的な多様体としての位相構造については，何人かの数学者の協力を得て，明確に決定した．この構造の具体的な決定から．実際の方程式の解の，発散や不連続性，特異性の出現などの現象の理論的解明への応用へと研究を展開したい．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究の基本として，高階のジェット空間を考えて，その等方空間全体のなすGrassmann 多様体の位相的性質を各次元毎に調べるという問題に対して，そのファイバー空間の繰り返しとしての構造を明白に理解することが出来て，低い次元の場合には，その多様体の位相までを確定したことは，さらに研究を進歩させるための，十分な基礎づけであると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
いろいろの幾何的構造に対しての織物と，実際の理工学の現場に現象として現れる解の特異性との関連を調べて，その理論付けを与える．発散する解や，不連続な解が，高次のジェット空間の葉層としては連続的でありながら，現実の関数空間への射影を通ることにより出現するものであることを，具体的な例によって検証する．また，マクロな経済現象におけるカタストロフも織物理論の枠組みの中での説明を与える．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
予定していた研究会の内容が次年度の他の研究会のほうがより研究の遂行に効率的であると考えた．
より多くの研究会に参加し，研究連絡，発表を行い，十分な他の研究者との討論の機会を持ち，研究を進める予定である．
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