2015 Fiscal Year Annual Research Report
微分方程式論の基礎となる接触織物理論と関連する種々の幾何構造の研究
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25400067
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
佐藤 肇 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 名誉教授 (30011612)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | ルジャンドル織物 / グロンオール予想 / 3階常微分方程式 / シュワルツ微分 / シンプレクティック多様体 / ラグランジアン織物 / サミュエルソン条件 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
数理物理現象の本質を記述する最重要手段である微分方程式を，幾何学的に研究する中で，接触幾何学と織物理論を結合し，本源的な構造の解析をすることを研究課題とした．得られた結果はまず，力学や数理経済学を支配するルジャンドル織物理論に関する次のようなものである．
平面の3織物に対しての線形化写像の一意性の問題が，計算図表理論の基本問題で，グロンオール予想といわれ，100年以上経た今もいまだに解決されてはいない．我々の研究は３織物をルジャンドルｄ織物に変えた場合を考え，ｄが４以上の場合に，線形化写像の一意性を示し，その場合のグロンオール予想を肯定的を解決した．証明には，３階の常微分方程式の線形化問題において，研究代表者が以前に小沢哲也との共同研究で得た，その曲率の消滅が積分可能条件となるような線形偏微分方程式系を具体的に構成した方法を用いる，接触変換に対して，４個の接触シュワルツ微分を定義し，それらを係数として，３本の ２階線形微分方程式系が定まっていて，その系が積分可能の場合にその ４個の独立な解の射影化が，3回常微分方程式が線形化可能の場合の線形化写像である接触変換を与えるという結果である．この結果を用いて，線形写像を除いての一意性が結論される．さらにd が 3 の場合，あるいは 4次元エンゲル多様体での織物などのの一意性の問題はこれからの課題として残っている．
最終年度はシンプレクティック多様体のラグランジアン２織物の平坦性の研究した．その幾何学的条件が，空間が２次元の場合は，経済学者のサミュエルソンによって与えられていたが，高次元のシンプレクチック多様体に対しても定義を与え，平坦性の幾何学的に明瞭な必要十分条件を与えることに成功した．またそれにより，この場合のリッチ曲率の幾何学的意味が明らかになり，数理現象の把握への応用が期待出来る．
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