2018 Fiscal Year Annual Research Report
A deformation of symplectic structures and its application for unitary representations
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25400073
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
池田 薫 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (40232178)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 幾何学的量子化 / ユニタリー表現 / ハイゼンベルグ群 / 旗多様体 / 戸田格子 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
リー群のユニタリー表現と幾何学的量子化の研究を行ってきた。当初の研究のアイデアは徐々に洗練された形になって来たと考えている。以下その概要を述べる。本研究の当初の目的はG=GL_n(R)の既約ユニタリー表現を幾何学的量子化を用いて構成しようというものであった。そのため旗多様体X=G/P, ただしPはあるGの放物型部分群, を考えた。その際Xをハイゼンベルグ群Uを張り合わせる形で構成した。各々のUの上でGの既約ユニタリー表現を考えそれを最後に張り合わせX上にGの既約ユニタリー表現を構成しようというものであった。現在はより基本的なハイゼンベルグ群の既約ユニタリー表現への幾何学的量子化の応用を考えている. 余随伴軌道法 ,より一般的に幾何学的量子化とはハイゼンベルグ群におけるStone-von Nuemannの定理を連結リー群に一般化しようとしたものと考えられる. ハイゼンベルグ群ではStone-von Nuemannの定理により基本となるユニタリー既約表現の族ρ_h, hは実数, が得られた. ハイゼンベルグ群の既知のユニタリー表現の構成法, つまりUの中心Rの指標表現からの誘導表現からは既約分解した際点スペクトルしか現れない. こうした誘導表現は自然にU/R上に接続付き直線束を定義しその曲率から定まるU/R上のシンプレクティック構造は1-stチャーン類を定めるのでそのコホモロジー類は整条件を満たしている. 整条件とは量子力学におけるBohr-Sommerfeld条件に由来するものなのでこれは自然な結果と考えられる. つまり従来の幾何学的量子化の方法では連続スペクトルが存在する既約分解を持つユニタリー表現を構成出来ないと考えられる. 余随伴軌道法の替わりにハイゼンベルグ群のリー環の部分空間上のPoisson σ modelを考えることによりこの問題に取り組んでいる.
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