2014 Fiscal Year Research-status Report
測度論的拡大性を持つ微分可能力学系の特徴付けに関する研究
| Project/Area Number |
25400105
|
|---|
| Research Institution | Utsunomiya University |
|---|
Principal Investigator |
酒井 一博 宇都宮大学, 教育学部, 教授 (30205702)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
|
| Keywords | 力学系理論 / 拡大性 / 確率測度 / 双曲性 / 占有的分解 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
μを距離空間(X,d)上の確率測度とする。写像fがμ-拡大的（測度論的拡大性の定義）であるとは，あるδ>0が存在し，すべてのx in X に対しμ(Г_δ(x))=0が成立することをいう。ただし，Г_δ(x)={y in X:d(f~n(x), f~n(y))<δ(∀n in Z)}とする。本研究では，測度論的拡大性の概念を微分可能閉多様体上の微分可能力学系に導入し，拡大性を満たす微分同相写像を測度論的視点から考察するとともに，微分幾何学的力学系理論の立場から特徴付ける。
微分可能閉多様体M上の微分同相写像の全体にC~1-位相を導入した空間をDiff(M)，拡大的な微分同相写像全体をEで表す。f in Diff(M)とし，M上の確率測度全体をM(M)，f-不変確率測度μin M(M)の全体をM_f(M)，エルゴード的なμin M_f(M)の全体をM~e_f(M)で表す。本研究では，以下の集合を考察の対象とする：PE={f in Diff(M):μ-拡大的（∀μin M(M)）}，IE={f in Diff(M):μ-拡大的（∀μin M_f(M)）}，EE={f in Diff(M):μ-拡大的（∀μin M~e_f(M)）}.
E, IE のC~1-位相に関する内点集合（intAで集合Aの内点を表す）について「intPE=intE」「intIE=Ω-安定性」が成り立ち，測度論的拡大性と双曲性との関係は明確となっている。平成26年度の課題は，25年度に引き続き，f in intEEに対し，Ⅰ.Ω(f)=∪_{μin M~e_f(M)}supp(μ)となること，Ⅱ.Ω(f)上に占有的分解が存在すること，の証明である。ここで，supp(μ)は，測度μの台とする。
本年度は，課題Ⅰ，Ⅱの解決の礎である，EEの具体例（３次元多様体上の推移的ではあるが非双曲的な写像空間の例）の内点の構造解明が完了した（論文は，力学系理論専門雑誌に掲載された）。現在，その成果を基に上記課題Ⅰ，Ⅱの解決に取り組んでいる。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本研究計画調書にある研究推進に向け，平成25年度に引き続き，本年度においても課題Ⅰ，Ⅱの解決のための準備として，EEの具体例（３次元多様体上の推移的ではあるが非双曲的な写像空間例）に対し，その内点の構造解明に取り組んだ。本研究の推進には，この例の微分幾何学的構造の解明が必要不可欠である。この例は，最初に３次元トーラス上に推移的ではあるが非双曲的な写像を構成し，次にそれをC~1-位相に関し摂動することで（写像空間が）構成される。平成26年度の研究により，摂動後の写像も摂動前の写像と位相的には同じ構造を持っていることが解明され，EEの開集合を成すことが証明された（この研究成果は力学系理論専門雑誌に掲載された）。しかし，この結果は本研究推進のための基盤的研究成果であり，本研究の全体的な達成度としては“やや遅れている”。
|
| Strategy for Future Research Activity |
f in intEE とする。27年度においては，上記EEの具体例をプロトタイプとして課題Ⅰ，Ⅱの解決を目指し，それを基に課題Ⅲに取り組む。課題Iの証明にはPughの閉補題を用いる。課題Ⅱの解決に向けての基本方針は，粗い議論ではあるが以下の通り：ある測度μin M~e_f(M)に対しsupp(μ)上に占有的分解が存在しないと仮定する。Maneのエルゴード的閉補題 により，fの C~1-位相に関する近傍に，占有的分解を持たない周期軌道を有するgが構成できる。占有的分解が存在しないことから，gのC~1-位相に関する近傍に吸引的周期点又は反発的周期点を所有するg が存在することがわかる。その周期軌道の近傍に，エルゴード的確率測度を持ち拡大的ではない（部分的）力学系を構成することにより矛盾を導く計画である。
|
| Causes of Carryover |
大学院教育学研究科の改組（設置及び教職課程認定作業）に担当責任者として従事していた関係で，平成26年度当初から年末にかけ文科省法人支援課等との協議が頻繁にあり，その対応のため，計画していた力学系理論研究集会（ICMサテライト会議等：於韓国忠南国立大学校）への出席及び国内外での共同研究等の推進を一時的に見合わせざるを得なかった。
|
| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成27年度に於いては４月末に韓国（忠南国立大学校）を訪問し，本研究に関する最新の研究成果の発表と共同研究を推進する。また，夏季休業中の1週間程度，北京大学を訪問し（調整中），本研究の方法・内容について研究討論を行うと共に共同研究を推進し，円滑な研究計画の実施に資する。
|
Research Products
(2 results)
