無限次元タイヒミュラー空間の幾何構造の構築

2018 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 25400127
• Research Institution: Tokyo Institute of Technology
• Principal Investigator: 藤川 英華 東京工業大学, 理学院, 准教授 (80433788)
• Project Period (FY): 2013-04-01 – 2020-03-31
• Keywords: 複素解析学 / リーマン面 / 擬等角写像 / タイヒミュラー空間 / モジュラー群 / モジュライ空間 / 双曲幾何学

Outline of Annual Research Achievements

これまでの研究では，タイヒミュラーモジュラー群それ自身や重要な部分群に対して，無限次元タイヒミュラー空間上の作用の不連続性を考察し商空間を考えることにより，複素構造を持つ新しいタイヒミュラー空間をいくつか提示してきた．また，谷口雅彦氏との共同研究で，リーマン面とその上の可算無限個の点集合の組みに対する擬等角変形空間を考案し，フラクタル構造と呼ばれる特定の点配置構造を導入することにより，一般のリーマン面上の複素力学系から生じるフラクタル構造に対し，フラクタル構造の変形空間として新しいタイヒミュラー空間の概念を定式化してきた．メビウス半群の反復合成力学系に付随するフラクタル構造のタイヒミュラー空間に対しては，谷口氏によりすでに幾何学的大域座標が導入されていたが，本研究では，クライン群の極限集合に付随するフラクタル構造のタイヒミュラー空間に対しても幾何学的大域座標を導入することができることがわかった．特に，上記の大域座標により得られる表現空間が複素構造を持つための条件として標準的な幾何学的有界性で十分であることが解明できた．この成果は研究代表者がこれまでに構築してきた無限次元の一般タイヒミュラー空間論の適用により獲得できたが，その成果の適用範囲は今まで複素力学系分野ではほとんど研究されてこなかった無限次元のパラメータ空間を持つ複素力学系や無限次元の配置空間などを包摂するものである．これにより，大域座標からフラクタル構造のタイヒミュラー空間の自然な表現空間を導入することができ，その安定領域の決定のみならず重要な有限次元部分多様体に対するコンパクト化を考えることができた．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

目標としている研究の主要な部分について，その方向性が明らかになった．また問題点と今後の課題も具体的に明らかになっている．

Strategy for Future Research Activity

これまでに得られた成果を講演により公表することで，新しい視点を議論したい．また研究連絡やセミナーでの講演を行い，関連する研究者と意見交換をする．

Causes of Carryover

次年度使用額が生じた理由：都合により，当初予定していた出張を行わなかったため．
使用計画：研究集会およびセミナーに出席して成果を公表する．また関連する研究者との研究連絡を行う．