2013 Fiscal Year Research-status Report
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25400175
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
小林 孝行 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (50272133)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
梶木屋 龍治 佐賀大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (10183261)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 圧縮性流体 / Navier-Stokes 方程式 / Stokes 方程式 / 消散型波動方程式 / 非線形波動方程式 / 線形粘性弾性体方程式 |
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| Research Abstract |
圧縮性 Navier-Stokes 方程式の定数平衡状態の安定性の研究で示唆されていることは，解の拡散波動の現象と広い意味での Huygens の原理を明らかにすることである．そのために，解の第一近似として現れる線形粘性弾性体方程式および非圧縮性 Stokes 方程式、Navier-Stokes 方程式を中心に，解の時間に関する漸近挙動について研究を行った．
摂動半空間における非圧縮性 Navier-Stokes 方程式の初期値境界値問題を考察し，解のプロファイルを明瞭にする関数空間として，空間に関しての重み付き Lp 空間を考え，その空間上で Stokes 作用素のレゾルベント評価を導くことで Stokes 半群の解析性を示し, 非圧縮性 Navier-Stokes 方程式の初期値境界値問題の解の重み付き Lp 空間における時間に関する減衰評価を導いた．
全空間における線形粘性弾性体方程式，つまり強消散項を持つ波動方程式の解は，熱方程式による拡散と波動方程式による伝搬の影響が現れることが予想される．２次元全空間における熱方程式の場合，初期値が L1 に属しても，解の時空間における L2 有界性は一般には成り立たない．我々は、２次元外部領域における冪乗型の非線形熱方程式の初期値境界値問題を考察し，初期値が Hardy 空間に属する場合を考え，Morawetz の方法を用いたエネルギー法とFefferman-Stein の不等式， Hardy 型の不等式を用いることで，２次元では臨界である解の時空間に関する L2 有界性を得ることが出来た．この結果は，先に得られていた外部領域における摩擦項付き冪乗型の非線形波動方程式の初期値境界値問題の結果の拡張にもなっている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
全空間における圧縮性 Navier-Stokes 方程式の密度部分の線形化方程式である線形粘性弾性体方程式の初期値問題の解の構造，特に, Morawetz の方法を用いたエネルギー法の理論の研究では， 線形粘性弾性体方程式の解の時間に関する漸近挙動の意味での第一近似は熱方程式の解であり，その意味で，２次元外部領域における冪乗型の非線形熱方程式の初期値境界値問題を考察した．初期値が Hardy 空間に属する場合に，２次元では臨界である解の時空間に関する L2 有界性を得ることが出来たことは意義がある．特に，この結果は、先に得られていた外部領域における摩擦項付き冪乗型の非線形波動方程式の初期値境界値問題の結果の拡張になっている．また，この方法は，線形粘性弾性体方程式や非圧縮性 Navier-Stokes 方程式にも応用が期待できる点で，順調に研究は進んでいる.
全空間, 半空間と外部領域における非圧縮性 Navier-Stokes 方程式の初期値問題，初期値境界値問題の解の空間に関する重み付き評価について研究した．特に，半空間と摂動半空間における初期値境界値問題の解の空間に関する重み付き評価を考察した．Stokes 半群の重み付き Lp-Lq 評価 を示し，非圧縮性 Navier-Stokes 方程式の初期値境界値問題の解の重み付き Lp 空間における時間に関する減衰評価を得ることが出来きた点で，今後の課題である上下半空間に穴の開いた仕切りがある aperture 領域や外部領域へのアプローチとしても研究は順調に進んでいる．
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究課題を遂行するためには，多くの数学者との研究討論が不可欠であり，また，最新の結果や手法を常に研究することが必要である．そのため，研究分担者の佐賀大学の梶木屋龍治教授と圧縮性 Navier-Stokes 方程式の解の拡散波動の現象の解析の中で，Morawetz の方法を用いたエネルギー法の確立のために重要な楕円型偏微分方程式の研究討論を行う．連携研究者である熊本大学の三沢正史教授と線形粘性弾性体方程式の実解析的な手法，九州大学の隠居良行教授と圧縮性 Navier-Stokes 方程式の非線形解析，筑波大学の久保徹隆助教と，非圧縮性 Navier-Stokes 方程式の解の重み付き評価に関する研究討論を行い，研究代表者である申請者が総括する．また，解析系のセミナーや研究集会等に出席し情報収集を行い, 多くの数学者と研究討論を行う.
上下半空間に穴の開いた仕切りがある aperture 領域や外部領域における非圧縮性 Navier-Stokes 方程式の初期値境界値問題の解の空間に関する重み付き評価について考察する. また，線形粘性弾性体方程式の初期値問題の研究を進め，非圧縮性 Navier-Stokes 方程式の初期値問題への応用を考察し, 圧縮性 Navier-Stokes 方程式の初期値問題の解の密度部分の拡散波動現象を研究する.
(1) R.~Farwig and H.~Sohr 等の一連の論文を研究し, 上下半空間に穴の開いた仕切りがある aperture 領域や外部領域における非圧縮性 Navier-Stokes 方程式の初期値境界値問題の解の空間に関する重み付き評価を研究する．また, 久保徹隆助教との研究討論を行い, 局所エネルギー減衰評価を用いて, 非圧縮性 Stokes 方程式の初期値境界値問題の解の空間に関する重み付き評価を考察する.
(2) 三沢正史教授と研究討論し，線形粘性弾性体方程式の初期値問題の研究をもとに，非圧縮性 Navier-Stokes 方程式と圧縮性 Navier-Stokes 方程式の初期値問題への応用を研究する．
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