2014 Fiscal Year Research-status Report
再生核理論を用いたソボレフ不等式の最良評価とその応用
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25400210
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
武村 一雄 日本大学, 理工学部, 准教授 (60367216)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
亀高 惟倫 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (00047218)
楳田 登美男 兵庫県立大学, その他の研究科, 教授 (20160319)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | ソボレフ不等式 / 最良定数 / グリーン関数 / 再生核 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は当初の研究計画通り，これまでの研究で得られているグリーン関数のデータを再生核理論の視点に基づいて整理し直した。具体的には，未整備であった2M階微分作用素（低下項なし）に対する自由境界値問題のソボレフ不等式の最良評価（最良定数，最良関数計算）を得ることができた。2M階微分作用素に対するグリーン関数は，再生核の性質をもつように，対称直交化法という手法により構成することができた。その際，Whippleの定理が重要な役割を果たした。そのグリーン関数がある適切なヒルベルト空間と内積に対して，再生核となる。この事実に基づいて，内積からソボレフ不等式を導出後，グリーン関数の対角線値を調べることにより最良定数が得られた。本研究成果は，すでに関連の深いジャーナルに投稿，出版済みである。
計画初年度から上記のような連続版ソボレフ不等式と平行して進めていた離散版ソボレフ不等式についても昨年度得られた成果の内の２つを整理し直した。１つ目は，Ｃ６０フラーレン上での離散ソボレフ不等式の最良評価（最良定数，最良ベクトル計算）である。物理的には，得られた最良定数がＣ６０フラーレンの固さに関連することが分かった。２つ目は，Ｃ６０フラーレンでの枠組みを拡張したd-有限正則グラフに対応している離散ソボレフ不等式の最良評価である。こちらは，対応するグラフを正多面体グラフから重み付き有限正則グラフへと拡張して，一般化グラフラプラシアン上の離散ソボレフ不等式を定式化して，その最良評価を得た。本研究成果については論文を執筆中であったが，新たに重み付き有限正則グラフがあるテプリッツグラフの和の形で書けることが分かった為，全ての結果をテプリッツグラフでの視点に基づき現在再整理している。本年度整理し直した離散ソボレフ不等式の研究成果については，連続版のソボレフ不等式同様，いずれも関連の深いジャーナルに投稿予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は研究は２年目であったが，論文の投稿に若干の遅れが見られるものの，全体としてはおおむね当初の研究計画案通り進んでいる。計画初年度に引き続きこれまで求めてきたグリーン関数のデータを再生核理論の立場から整理し直すことができたために，連続版ソボレフ不等式と離散版ソボレフ不等式の最良評価を成果として得ることができた。こうした結果は今後，連続・離散ソボレフ不等式の最良評価に対する統一的手法の解明へつながると考えている。
本年度は，d-有限正則グラフがテプリッツグラフで表現できることが新たに分かったために，結果の再整理を行い論文の執筆に取りかかっている。次年度には，速やかに関連の深い雑誌へ投稿予定である。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度の研究成果の内，特にＣ６０フラーレンとd-有限正則グラフ上の離散ソボレフ不等式の最良評価は，有限グラフ上の量子ウォークに関連が深いことから確率論的意味付けができることが予想される。次年度以降は，グラフラプラシアンとして組み合わせ論的ラプラシアン（次数行列と隣接行列との差）から確率論的ラプラシアン（単位行列と推移行列との差）へ移行してゆく予定である。次年度は，有限グラフ上の量子ウォークに対応した離散ソボレフ不等式の最良評価を求めて行きたいと考えている。さらに，研究計画最終年度は有向グラフへと拡張を進めて，離散ソボレフ不等式の意味を解明してゆきたいと考えている。
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| Causes of Carryover |
d-有限正則グラフ上の離散ソボレフ不等式の最良評価についての論文を執筆している際に，d-有限正則グラフがテプリッツグラフの和の形で表現できることが分かった。この新たな知見を結果に加える為に，これまで得られた結果を新たにテプリッツ行列の視点に基づいて整理し直す必要が出てきた。この結果，当初予定していた発表と論文投稿に遅れが生じた。しかしながら，d-有限正則グラフ上の離散ソボレフ不等式の最良評価に対して，こうした新たな知見が加わったために，結果がより見通しの良いものとなった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度はd-有限正則グラフ上の離散ソボレフ不等式の最良評価については，新たに得られた知見を加えた整理が完了するため，速やかに論文の執筆を行い関連の深い雑誌に投稿予定である。また，この結果についても関連の深い学会で発表を行う予定である。
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