2016 Fiscal Year Annual Research Report
Best evaluation of the Sobolev inequality using the reproducing kernel theory and its applications
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25400210
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
武村 一雄 日本大学, 理工学部, 准教授 (60367216)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
亀高 惟倫 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (00047218)
楳田 登美男 兵庫県立大学, 物質理学研究科, 教授 (20160319)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | ソボレフ不等式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究計画最終年度の成果は，これまで連続版ソボレフ不等式の最良評価と並行して進めてきた離散版ソボレフ不等式の最良評価（最良定数，最良関数計算）を，有限グラフ，特に重み付きテプリッツグラフへと拡張されたことである。具体的には，重み付きテプリッツグラフ上に一般化されたグラフラプラシアンAを定義することにより，対応する2種類の離散ソボレフ不等式を導出，最良評価を得られた。最良定数はグリーン行列あるいは擬グリーン行列を用いて計算される。また，それらの最良定数は行列A+aIまたは零固有値を除くAの各固有値の調和平均の逆数として表されることが示された。本研究成果は，これまでの研究対象であった無向グラフを，今後有向グラフへと発展させる際の足がかりになる結果と言える。
研究期間全体を通じて得られた成果としては，2M階微分作用素の自己共役境界値問題において，特に自由端境界条件をもつ場合に対応するソボレフ不等式の最良評価およびトムソンケーブルの連続モデルに関する最良評価が得られた。また，連続版ソボレフ不等式の最良評価と並行して進めてきた離散版のソボレフ不等式に関しては，最終年度の結果の基になった正多面体，メビウスの梯子，Ｃ６０フラーレンバッキ-ボールおよび切頂正４，６，８面体上の離散ソボレフ不等式を導出，その最良評価をそれぞれの場合に得られた。こうした研究結果は，今後の連続・離散ソボレフ不等式の最良評価に対する統一的手法の確立を行う上での重要な情報になると考えられる。
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