2014 Fiscal Year Research-status Report
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25610003
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
浅芝 秀人 静岡大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (70175165)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 導来同値 / 線型圏 / 軌道圏 / スマッシュ積 / 2圏 / グロタンディーク構成 / ラックス関手 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. 以下，可換環kと群Gを固定し，R, SはG作用をもつk小圏，A, BはG次数付きのk小圏であるとする。このとき，軌道圏R/G, S/GはG次数付きのk小圏であり，スマッシュ積A#G, B#GはG作用をもつk小圏であることに注意する。まず，G-不変S-R-両側加群とG次数付きのB-A-両側加群を定義した。次にG-不変S-R-両側加群Mに対して，その軌道両側加群M/GをG-次数付きの(S/G)-(R/G)-両側加群として定義し，G次数付きのA-B-両側加群Mに対して，そのスマッシュ積両側加群M#GをG-不変(B#G)-(A#G)-両側加群として定義した。
2. 前者の構成を，G-不変S-R-両側加群の圏S-Mod(G)-RからG次数付きの(S/G)-(R/G)-両側加群の圏(S/G)-Mod[G]-(R/G)への関手(-/G)に拡張し，後者の構成を，B-Mod[G]-Aから(B#G)-Mod(G)-(A#G)への関手(-#G)に拡張した。
3. 自然な圏同値R→(R/G)#Gと(A#G)/G→AによってS-Mod(G)-Rと((S/G)#G)-Mod(G)-((R/G)#G)を同一視し，((B#G)/G)-Mod[G]-((A#G)/G)とB-Mod[G]-Aを同一視すると，(-/G)と(-#G)は互いに擬逆な圏同値になることを示した。
4. これらの圏同値はテンソル積と相性がよく，森田型安定同値についての定理が得られる。以上のことを両側加群の複体に拡張して，G-不変S-R-両側加群の複体MとG-不変R-S-両側加群の複体NがRとSの間のG-不変な導来同値を与えれば，M/GとN/GがR/GとS/Gの間のG-次数付き導来安定同値を与えることを示した。また，A,Bの冪等射が分裂する場合，G-次数付きB-A-両側加群の複体MとG-次数付きA-B-両側加群の複体NがAとBの間のG-次数付き導来同値を与えれば，M#GとN#GがA#GとB#Gの間のG-不変な導来同値を与えることを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
この研究の主目標が，両側加群の複体による標準的導来同値について達成された。あとは，両側加群の複体に関する以上の条件が，片側加群の傾複体のどのような条件から従うか調べればよい。
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| Strategy for Future Research Activity |
まず森田同値とスマッシュ積について考察する。すなわち，G次数付きのk小圏R, Sが森田同値で，その同値が生成射影R-加群Pで与えられるとき，Pにどのような条件があれば，S-R-両側加群としてのPがG次数付きになり，そのスマッシュ積P#Gがどのように与えられるか調べる。次にこれを導来同値とスマッシュ積に拡張する。
伊山修（名古屋大学教授）を連携研究者、玉木大（信州大学教授）と中島健（静岡大学大学院D2）を研究協力者として研究組織を構成する。伊山と中島は傾対象の構成を担当し、玉木は必要な2圏論の専門知識を提供する。「環論および表現論シンポジウム」と中国で開催される「日中韓環論国際会議」に出席し、成果を発表する。情報収集および関連する分野の研究者との交流のために経費は主に旅費に用いる。
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| Causes of Carryover |
3月に注文した物品が年度内に入荷しないことが分かったので，注文を翌年度に延期した。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
翌年度での物品購入に充てる。
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