2015 Fiscal Year Annual Research Report
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25610003
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
浅芝 秀人 静岡大学, 理学部, 教授 (70175165)
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2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 導来同値 / 線型圏 / 軌道圏 / スマッシュ積 / 2圏 / グロタンディーク構成 / 両側加群 / 森田型特異同値 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
以下，可換環kと群Gを固定し，R, SはG次数付きのk小圏とする。
1. R, Sが森田同値で，その森田同値が有限生成射影的R-加群Pで与えられているとする。このとき，RのG次数付けから自然にP上に導かれるG次数付けをPに与えたとき，PがSとG次数付き圏として同値であれば，Pはスマッシュ積R#GとS#Gの森田同値を導くことを証明した。
2. どのような場合にRとSの導来同値からR#GとS#Gの導来同値を導くことができるか，というこの研究課題の最初の目標に対する1つの解答を得ることができた。すなわち，Rに対する傾部分圏PのなかにG次数付け可能で，G次数付き小圏のなす2圏G-GrCatのなかでSと同値となるようなものが存在すれば，スマッシュ積R#GとS#Gは導来同値となることを証明した。
3. kが代数的閉体の場合に2-圏論的被覆理論を応用して次のことを証明した。三角圏Tが局所台有限な自己入射多元圏Rの安定加群圏に三角同値であり，Rの自己同型gの生成する群GがRに自由に作用していれば，Tの自己同値g'をうまくとって，標準被覆T→T/g'が三角関手となるような三角圏の構造をT/g'に入れ，T/g'がR/Gの安定加群圏と三角同値になるようにできる。
4. この定理の簡単な応用として，kが代数的閉体の場合，標準的有限表現型自己入射多元環Λに対して，ディンキン型クイバーQと，kQの有界導来圏Dの自己同値φをうまくとると，軌道圏D/φがΛの安定加群圏と三角同値になるようにできる，というGrimelandとJacobsenの定理（場合分けを用いた長い議論で証明されていた）に対して，簡単で統一的な別証明を与えた。
5. S-R-両側加群とR-S-両側加群の対(M, N)がG-不変な森田型特異同値を与えるためには，S/G-R/G-両側加群とR/G-S/G-両側加群の対(M/G, N/G)がG-次数付の森田型特異同値を与えることが必要十分であることを証明した。
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