2013 Fiscal Year Annual Research Report
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25707001
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Grant-in-Aid for Young Scientists (A)
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
小林 真一 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (80362226)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 代数学 / 整数論 / 数論幾何学 / L関数の特殊値 / Heegner cycle / p進L関数 / p進高さ関数 / Gross-Zagier公式 |
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| Research Abstract |
一般係数の重さ２の楕円型保型形式の非通常素点におけるp進Gross-Zagier公式を証明した。そのために必要な非通常素点のp進高さ関数のノルム構成を, 楕円曲線の場合からアーベル多様体の場合に一般化した。この結果をまとめて論文にした。
重さが一般の楕円型保型形式の非通常素点におけるp進Gross-Zagier公式の研究を始めた. 高次の重さをもつときは, Heegner cycleと呼ばれる高次元cycleの$p$-進高さと保型形式の$p$-進$L$-関数の微分値を結びつける公式となる. 扱う多様体がKuga-Sato多様体になり, modular曲線の場合と比較して道具立ても大きくなる. この公式は解析的階数が１のときの , 保型形式に関するBirch and Swinnerton-Dyer型予想に著しい応用が期待できる. 重さ2の場合の証明を一般化するにあたり, Heegner cycleの$p$-進Abel-Jacobi写像による像のp進積分を使った計算が大事になる. これは通常素点の場合には必要がなかった計算である. 非通常素点においてはより深いp進現象を解明する必要があり, この計算自体が数学的に興味深いものと思われる. 今年度はこの計算をもとにしてHeegner cycleのシステムをp進補間する関数を構成することができた。これはp進Gross-Zagier公式の証明の最も大事なステップの一つである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
重さ2の場合のp進Gross-Zagier公式を一般の重さに一般化するにあたって, 何が一番ネックになるかを見極めることができた. またそれを克服するためのレシピとしてp進Abel-Jacobi写像のp進積分を使った記述が使えることに気づいた。これにより論文を書きすすめることで議論の精度をあげていけばよいと思われる.
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| Strategy for Future Research Activity |
論文を書きすすめることで議論の精度をあげ, 細かな論理的ギャップを埋めていく. またp進Hodge理論に関することなど, 専門家に適宜アドバイスをもらう.
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
研究の進展状況から出張を控えたため. またスケジュールの調整の問題から招聘する予定だった研究者を招聘できなかったため.
今年度は積極的に出張し研究連絡を行う. 前年度招聘できなかった研究者を招聘する.
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