2014 Fiscal Year Annual Research Report
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26220702
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
儀我 美一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (70144110)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石井 仁司 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (70102887)
利根川 吉廣 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (80296748)
山本 昌宏 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50182647)
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| Project Period (FY) |
2014-05-30 – 2019-03-31
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| Keywords | 非局所的拡散 / ストークス方程式 / ファセット / 結晶成長 / 特異拡散方程式 / 渦 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
結晶表面の形状変化をはじめとする形態変動の解析は、科学・技術全般における複雑な現象の解明の鍵であるばかりでなく、数学解析の重要課題である。本研究計画では次の５項目に重点を置き研究を進めている。各項目についての本年度の成果を述べる。
(1) 非線形非局所的拡散に特徴的な構造の解析：ファセットを伴うような拡散が非常に強い方程式については、駆動力が一様で、空間次元が１次元の場合に比較的扱いやすい。これに対して、駆動力が非一様であったり高次元である場合は、解の概念の定義が難しい。またナヴィエ・ストークス方程式の線形化方程式であるストークス方程式でのように圧力場を通した非局所的な粘性効果についても、例えば最大値原理が成立しないなど、通常の熱伝導方程式とは異なる。本年度はストークス方程式について、熱方程式と同じような有界関数の関数空間でのその半群の解析性を外部領域で示すなど大きく進展した。またナヴィエ・ストークス方程式について渦度場を生成する境界の効果についても考察した。
(2) 特異構造を許す解概念の定式化：ファセットを許す解概念を、高次元の非発散型全変動流方程式について初めて拡張することに成功し、その初期値問題の一意可解性を示した。また、駆動力が非一様な場合、関数のグラフの場合に一意可解性が従う解概念の導入に成功した。
(3) 形態の安定性と漸近解析：２階等高面型方程式に外力が課されている２次元核生成をモデル化した方程式について、その時間大域的挙動がかなり複雑になることを発見した。
(4) モデル相互の関係の解析と近似法の確立：クリスタライン方程式の離散微分ゲームによる近似が可能かどうかを考察した。
(5) 科学技術諸分野への応用と新たな問題探索：結晶表面の渦巻成長を渦の衝突も含めて追跡できるモデルを提唱し、その数値計算を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
各項目について、必ずしも予想される方向に研究が展開されているわけではないが、確実に成果を上げている。
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| Strategy for Future Research Activity |
初年度は時間の関係で、国際研究集会を開催することによる情報収集や成果発表が必ずしも十分とはいえなかった。（申請書にも、初年度にはこのような活動を重点とはしてはいないので、申請書との齟齬はない。）次年度からは、予定しているように、国際研究集会やワークショップをいくつか開催して、情報収集、成果発表にも力を入れる。また海外の研究会にも積極的に参加し、世界に向けての情報発信をしていきたい。
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