2017 Fiscal Year Annual Research Report
Advanced Analysis on Evolving Patterns in Nonlinear Phenomena Driven by Singular Structure
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26220702
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
儀我 美一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (70144110)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石井 仁司 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (70102887)
利根川 吉廣 東京工業大学, 理学院, 教授 (80296748)
山本 昌宏 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50182647)
神保 秀一 北海道大学, 理学研究院, 教授 (80201565)
久保 英夫 北海道大学, 理学研究院, 教授 (50283346)
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| Project Period (FY) |
2014-05-30 – 2019-03-31
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| Keywords | 非局所的拡散 / ストークス作用素 / 有界平均振動関数 / ファセット / 結晶成長 / 分数階時間微分 / クリスタラリン平均曲率流 / 渦巻成長 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
結晶表面の形状変化をはじめとする形態変動の解析は、科学・技術全般における複雑な現象の解明に向けての鍵であるばかりではなく、数学解析としても重要な研究課題である。本研究計画では次の5項目に重点を置いて研究を進めている。各項目についての本年度の成果を述べる。
(1) 非線形非局所的拡散に特徴的な構造の解明：ファセットを伴うような拡散が非常に強い方程式については、空間次元が1次元であり、かつ2階の拡散の場合は従来よりよく解析されている。本年度は、高次元の場合にこの問題に取り組み、従来3次元空間内の曲面についてのみ示されていたクリスタライン平均曲率流方程式について、その解の一意存在についての統一的な理論を確立した。また、ナヴィエ・ストークス方程式の線形化作用素であるストークス作用素も、その平滑化効果は非局所的である。この作用素が有界平均振動関数の空間でも解析半群を生成することを、例えば有界領域や外部領域の場合に示すことに成功した。
(2) 特異構造を許す解概念の定式化：クリスタライン平均曲率流に対して、等高面法を確立した。特に、ユークリッド空間内の任意の有界開集合を、異方的な意味で滑らかな集合で近似することに成功した。
(3) 形態の安定性と漸近解析：結晶成長の渦巻成長や2次元核生成による成長について、記述するモデルの解の時間無限大の速度を数値的および数学的に解析した。
(4) モデル相互の関係の解析：平均曲率流方程式の拡散界面モデルであるアレン・カーン方程式の解が動的境界条件のもとで近づく鋭敏界面方程式を導出した。
(5) 科学技術諸分野への応用と新たな問題探索：地下水汚染を記述する分数階時間微分を持つ方程式について、その粘性解を用いた基礎理論を構築した。また、結晶表面の現象については、代表者らが開発した変形等高面法により、複数の渦巻がぶつかる場合の成長速度の計算を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
各項目について、必ずしも予想される方向に研究が展開されているわけではないが、確実に成果を上げている。
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| Strategy for Future Research Activity |
国際研究集会やワークショップをいくつか開催して、情報収集、成果発表にも力を入れる。特に本研究計画を通して多くの若手研究者の育成にも努めたい。また海外の研究会に積極的に参加して、世界に向けて情報発信をしていきたい。
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