Advanced Analysis on Evolving Patterns in Nonlinear Phenomena Driven by Singular Structure

2019 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 26220702
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (S)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Mathematical analysis
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: GIGA Yoshikazu 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (70144110)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 石井 仁司 津田塾大学, 数学・計算機科学研究所, 研究員 (70102887) ; 利根川 吉廣 東京工業大学, 理学院, 教授 (80296748) ; 山本 昌宏 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50182647) ; 神保 秀一 北海道大学, 理学研究院, 教授 (80201565) ; 久保 英夫 北海道大学, 理学研究院, 教授 (50283346)
• Project Period (FY): 2014-05-30 – 2019-03-31
• Keywords: 非線形非局所的拡散 / 粘性解 / バリフォールド / 薄膜極限

Outline of Final Research Achievements

We prove the existence and the uniqueness of a solution and clarify its behavior for evolution equations mainly nonlinear diffusion equations describing evolution of patterns and shapes like crystal growth phenomena. We introduce new notions of a solution which allows shape with singularities for equations having singular structure. We thus establish foundation of mathematical analysis which easily describes real phenomena. Based on these fundamental results, we are able to numerically calculate phenomena which had been difficult to calculate, for example, phenomena of colliding spirals on surfaces of crystals.

Free Research Field

非線形解析学　非線形拡散型偏微分方程式の数学解析

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

偏微分方程式は、諸現象記述に便利ですが、現象に忠実であろうとすると、入力を倍にしても出力が倍にならない非線形であることが多くなります。本研究で扱う問題は主に時間発展型の方程式で、非平衡現象に対応しております。さらに、非局所的効果を持つものです。このような問題は従来の解析では扱えませんでした。本研究の成果は、分数階微分方程式、クリスタライン平均曲率流方程式、ナヴィエ・ストークス方程式を中心に、粘性解の理論や実解析の理論を発展させ、非線形解析学を発展させました。
また、結晶表面の成長メカニズムの一つである渦巻成長について、その新しい数値計算法を与え、結晶成長学の基礎の見直しにつながりました。