2016 Fiscal Year Annual Research Report
Mathematical Analysis for Mathematical Models Arising in Near From Equilibrium
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26247013
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
鈴木 貴 大阪大学, 数理・データ科学教育研究センター, 特任教授(常勤) (40114516)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
太田 雅人 東京理科大学, 理学部第一部数学科, 教授 (00291394)
森田 善久 龍谷大学, 理工学部, 教授 (10192783)
大塚 浩史 金沢大学, 数物科学系, 教授 (20342470)
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| Project Period (FY) |
2014-06-27 – 2019-03-31
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| Keywords | ロッカ・ボルテラ系 / 走行性 / 正規化リッチ流 / 化学反応系 / 解の爆発 / 分数拡散 / 量子化 / 臨界指数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
点渦系平均場方程式の解の爆発機構がもともとのハミルトニアンによって制御されるという原理は非局所項がない場合に明快に解明されていたが、今回非局所項がある場合についてはそれだけでは不十分であることが初めて明らかにされ、1点爆発解の非退化性が面積分の挙動には依存せずに定まっていることが明確になった。多点強度系の研究も進展し、臨界質量の場合に爆発解のcollapse質量と全域解の全質量が一致する質量等式が成り立てば、Y.Y. Liの不等式が得られ、その木帰結として基本的なTrudinger-Moser不等式が成り立つことが明らかになった。一方2強度系については質量等式が成り立つために必要十分に近い条件が得られ、これまでの研究方法を俯瞰して今後の示唆を与える重要な結果となった。Smoluchowski-Poisson方程式は、正準統計のもとで自己凝集的な粒子の平均場の時間依存を記述するモデルで、その平衡状態が点渦系平均場方程式と一致するものであり、その爆発機構について点渦平均場方程式との類似が詳細に追及されてきたが、無限時間爆発の場合を完全に説明する結果が得られていなかった。今回 defect measure を導入して、移動する座標でのリュービルの定理を適用することによって、自由エネルギーの有界性などを仮定することなく、無限時間爆発するのは初期質量が量子化されているときのみであることが明らかにされた。生体系モデルの解析では、全質量が保存される場合の2次の非線形項の臨界次元である2次元の時に、有限時間でも無限時間でも爆発が起こらないことが明らかにされていたが、今回解の正値性によって有限時間爆発については高次元でも起こりえないことが非線形項の制約のもとで示され、今後の大きな研究テーマとして注目を集めるに至った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非局所項のある場合に、点渦系平均場方程式の解の爆発機構がもともとのハミルトニアンによって制御されるという原理を修正する必要があることを、1点爆発解の非退化性について確立したことで、今後の研究の方向が明確になった。また多点強度系の研究を通して、質量等式、Y.Y. Li評価、Trudinger-Moser不等式の関係が明確になると同時に、質量等式が成り立たない場合を検出したことで多強度系についてだけでなく、高次元問題への強力な示唆が得られた。Smoluchowski-Poisson方程式において、動く座標を用いて無限時間爆発の量子化を示したことも長年の懸案を解決する重要な研究成果である。生体系モデルの解析によって、解の正値性によって臨界指数が大きく上がることが解明されたことも注目を集めている。
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| Strategy for Future Research Activity |
定常問題についてはこれまで点渦系の多強度モデルでは分布が連続的である場合にTrudinger-Moser不等式が成り立つ例が得られていないので、質量等式を導出し、この不等式が肯定的であるようなカテゴリーを与える。また先行研究で高次元で爆発質量の量子化と爆発点の位置がハミルトニアンに支配される場合がある方程式が見つかっている。プラズマの閉じ込めや自己重力流体を記述する物理的に意味のあるモデルで、これまでの2次元での研究で確立された原理が適用できるかどうかを見定めることは今後の研究にとって重要な指針を与える。爆発解について試行的に質量等式が成り立つことが得られているので、引き続きY.Y. Li評価が得られるかどうかを解析する。時間依存については生命科学で用いられる、常微分方程式も含んだ多種系のマルチスケールモデルを扱い、リヤプノフ関数や勾配不等式を用いて時間大域解の存在と有限時間爆発について先駆的な研究を行う。高次元の反応拡散系において正値性から臨界次元を越えて解が時間大域的に存在する場合を系統的に考察すると同時に、無限時間爆発の非存在についての条件も検討する。関連して交差拡散系についてもこれまでの解析手法であるエネルギー法を適用することで、既存の結果がどこまで改良できるかを明らかにする。
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