| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は水面に浮かべた樟脳片の運動をパルスダイナミクスの観点から考察し, その一般化を試みた．パルスの運動を解析するためには, 元となるパルス状局在解の存在のみならず, その線形化作用素のスペクトル分布や共役作用素の固有関数の情報などが必要となるが, そうした情報を得ることは一般には甚だ困難であり, 多くの場合, 特異摂動法を適用するなど, 特殊なパラメータ領域で近似解を構成したり, 区分線形など特殊な非線形項を用いて解を陽に構成したりといった方法をとられてきた．一方で, 樟脳片の運動を記述したモデル方程式においては, 一般的な非線形項であっても, 上記の必要情報を余すことなく具体的に得ることができるという利点がある．今年度はまず樟脳片の数理モデルから必要情報をすべて抜き出すことからはじめ, 手始めとして楕円樟脳片の運動を解析した．楕円樟脳片とは文字通り樟脳片の形状が楕円形をしている場合であり, 非球対称なパルス状局在解に対応する．抜き出した必要情報を元に単独の楕円樟脳片の漸近安定性を示すことに成功すると同時に, そうした安定な楕円樟脳片が複数ある場合の相互作用も解析することができた．さらに, 同じ結果が, かなり一般的な非線形項であっても, 実験で検証可能な性質のみを仮定すればそのまま成り立つことを示すことに成功した．また, 樟脳片が複数ある場合の相互作用に関しても, その運動方程式を一般的な非線形項の下で具体的に書く下すことに成功し, 多くの場合, ２つの楕円樟脳片を結ぶ中心線に対して, 長軸が垂直になることを理論的に示すことができた．こうした非線形項の一般化とその検証可能な仮定は, 実際の現象で, たとえそのメカニズムがはっきり分かっていなくても, いくつかの基本的な性質のみを検証すれば十分であることを示唆している．さらに今回の結果は, 現象の細部によらない, 普遍的な構造を抜き出したものと考えることができる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
樟脳片における非球対称定常局在解に関しては当初, 楕円形状の場合のみ具体的計算ができることを期待していたが, 予想に反して, 任意形状で, かつ一般的な非線形項で必要情報を抜き出すことに成功した．これにより, 楕円形状に限定したり, 反応項を限定したりする必要がなくなり, かなり一般的な議論が可能となった．またそれにより, 実験との比較がより容易になった点は大きな進展といえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは理論で予想された仮定と結果を実験事実と比較検証することを始める．その後は当面, 理論を深める方向, たとえば得られた必要情報を用いることによる分岐構造の決定や, 樟脳片形状に依存した進行方向の選択性など, これまで数値計算のみでしか確認されていなかった事実に理論的基盤をしっかり与え, より一般の反応拡散系へ拡張するための足がかりを築いていく予定である．
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