Moment maps in representation theory and noncommutative invariant theory

2019 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 26400014
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Algebra
• Research Institution: Tottori University
• Principal Investigator: HASHIMOTO Takashi 鳥取大学, 教育支援・国際交流推進機構, 教授 (90263491)
• Project Period (FY): 2014-04-01 – 2020-03-31
• Keywords: 運動量写像 / 不定値直交群 / 極小表現 / Howe双対性 / Gelfand-Kirillov次元 / Bernstein次数

Outline of Final Research Achievements

The indefinite orthogonal group O(p,q) naturally acts on a symplectic vector space, with a moment map. We construct a (g,K)-modules of O(p,q) by quantizing the moment map, and apply the Howe duality to obtain irreducible modules that correspond to the finite-dimensional representations of sl(2), as well as their K-type formulas. We obtain Gelfand-Kirillov dimension and Bernstein degree of the modules, which are the representation-theoretic invariants, from the K-type formula. We find that the Gelfand-Kirillv dimension of our modules are all equal to the one of the minimal representation of O(p,q), which corresponds to the trivial representation of sl(2), and that Bernstein degree distinguishes the minimal representation from the others.

Free Research Field

表現論

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

運動量写像は不変式論等，代数幾何学において非常に重要な役割を果たしていることは周知の事実であるが，本研究により，運動量写像が非可換な世界と可換な世界とをつなぐ架け橋の役割を担っていることが明らかとなり，運動量写像が表現論においてもまた，重要な役割を果たしていることが強調できた．系のもつ対称性が運動量写像により記述されるという点において，運動量写像は Lie 理論的に極めて自然で，かつ，座標系を用いて具体的に表せることが，運動量写像が数学における様々な場面において，このように重要な役割を果たすのだと思われる．