2016 Fiscal Year Research-status Report
擬鏡映群の諸相（整数表現とブラウワーの三角形、代数群の正規環への作用）
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26400019
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| Research Institution | J. F. Oberlin University |
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Principal Investigator |
中島 晴久 桜美林大学, 自然科学系, 教授 (90145657)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 擬鏡映群 / Krull整域 / 代数的トーラス / 因子類群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代数的トーラスの有限中心拡大の特徴付けをKrull概型への正則作用の付値論によって行った．Gの連結成分が代数的トーラスであるとする. .Gと連結成分の中心化群の間にある任意の閉部分群Hの全てのアフィンKrull概型Xへの作用を考える．商スキームX/Hの離散付値のその上にあるXの離散付値Pの分岐指数が，Pの惰性群とGの連結成分の有理指標群とそのPから定まる部分群の指数のp-部分で決定されることが, 上記の特徴付けとなる．
連結成分が簡約可能代数群であるような一般の代数群Gを考える. （X, G）をアフィンKrull概型への正則作用とする．Gが連結な閉部分トーラスTの中心化群となっているとき，TによるXの商スキームX/T上でGの作用によって定まる擬鏡映群は, X上のG作用によって得られる擬鏡映群に持ち上がるという結果を得た．更に正規部分群によるKrull概形の商からの擬鏡映群の持ち上げには，正規部分群がトーラス等のここでの仮定がベストポッシブルであるということも示されている．
アフィントーリック多様体は代数的トーラスTの線形表現の表現空間であるアフィン空間VのTによる商多様体Yと同型であるが，線形表現の極小な縮約(W, T')の商に同型となり，極小性はYの因子類群Cl(Y)がT'のW上の擬鏡映群を割った剰余群の有理指標群として捉えられることを示した．そしてその結果は，コニカルなアフィンfactorial多様体の関数環の極小系がVの双対空間となっているものに自然にTが作用するケースへ一般化されると予想されており，その一歩手前まで示されている．
アフィンKrull概形に連結代数群が作用しているとき, 不変な単項イデアルは半不変式を定めることが分かる．多くの場合，単数が自明もしくは正規環という仮定が入っていたが，一般的にそれは必要ない．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
（１）投稿した論文について，不変式論の専門知識を持っていない査読者に当り提出し直しになり，時間的ロスが大きかった．改定に際して，拡張が行われその為に時間を要する側面もあった．
（２）有限群の余正則となる整数表現の決定の代数化が困難な壁にぶつかっていて，予定のステップを踏めていない．尤も，この部分は十年間くらいかかり数人の幾何学者によって達成された位相幾何的証明を代数化するので，有り得る困難と思われ仕方ないことである．
（３）上記の研究実績の概要の３つ目の結果は，論文執筆中であり完成が遅れている．もっと一般化が可能ではないかという予感がしている為である．
（４）研究実績の概要の２つ目の結果では，factorialという仮定付きでの証明ならばすぐに論文にすることが出来たが，Krull概型という極限までの一般化の達成まで待ったので，論文にまとめるのが遅れた．結果的には驚くほど簡明な証明になり，ナイスなものにはなった．また得られた結果を論文にしていく際に，予期せぬギャップが生じて時間が多くかかり，単著の研究の処理能力の遅さが，査読の時間を要することと併せて，新しい研究に取り組む機会を喪失している．この点も反省しているが，仕方のない側面もある．
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| Strategy for Future Research Activity |
アフィントーリック多様体は代数的トーラスTの線形表現の表現空間であるアフィン空間VのTによる商多様体Yと同型であるが，線形表現の極小な縮約(W, T')の商に同型となり，その極小性はYの因子類群Cl(Y)がT'のW上の擬鏡映群を割った剰余群の有理指標群として捉えられることを示してある．この結果は，コニカルなアフィンfactorial多様体の関数環の極小系がVの双対空間となっているものに自然にTが作用するケースへ一般化されると予想しており，それを証明したい．またコニカルでないケースを特殊な場合として含むような定理として定式化する形でこれを実現する予定である．このタイプの定理として究極なものは，factorialではなく，Krull概型を扱えれば良いのだが，その定式化がまだ予想出来ないでいる．
Borho-Kraftによるassociated coneの研究は標数ゼロの仮定が入っているが，characteristic-freeに改良出来れば，Advances in Math. (2011)に載せた拙著論文や，トーラスの余正則拡大の分類がcharacteristic-freeに一般化出来ると予想され研究したい．
トーラスの中心拡大の不変式論は有限群の不変式論を含むので意味がある．通常表現とモジュラー表現について，Krull環という一般的なカテゴリーで研究が展開されつつあるが，整数表現では代数的に何も言えていないので，位相幾何学者による研究を分析して突破口を開きたい．
簡約代数群の表現を考え，それの放物型部分群の不変式環について，冪単部分の不変式環との相対的な加群構造について，Brionらによる研究が一部あるが，同次元ファイバーを持つ場合の分類を試みたい．またこれに関連してKrull概型の商の擬鏡映の持ち上げについて，簡約可能でない群ではどうなっているか考察したい．
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| Causes of Carryover |
研究計画の一部である整数表現の不変式論について，当初の予定通りには行かないという障害が発生して，滞っていること．計画変更があり．その為の準備に時間をとられたこと．得られた結果を書いた論文の査読が事情により遅れており，その手当に時間を要したこと．論文の結果の大幅な拡張が行われて，その補助的研究に多くの時間が割かれた上，次の論文に吸収されたこと，この結果として新規の研究に打ち込める時間が不十分であったこと．家族の病気により出張等が滞ったこと．これらが複合した結果であり，改善して行きたい．
尚，研究計画の内容から見ると，５年程度の期間が望ましかったと今は判断している．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
残額は少ないので，次のことに有効に活用したい．
研究に要する文献の入手費用，研究に必要となる情報機器関連の更新，研究の為の消耗品費用，報告書の印刷製本費用，出張の旅費．
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| Remarks |
研究成果に特化したウェブサイトは立ち上げ予定．
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Research Products
(2 results)
