2014 Fiscal Year Research-status Report
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26400035
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
増岡 彰 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (50229366)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | スーパー代数群 / ハリシュ-チャンドラ対 / スーパー・ハイパー代数 / 量子群 / ピカール・ヴェシオ理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代数群の定義として、最も一般的かつ単純なのは Grothendieck による「函手的見地」に立つもの。それによれば、固定した可換環 k 上の可換代数の圏から群の圏への函手（可換代数）→（群）が k-群、そのうち表現可能なものがアフィン群(スキーム)である。従ってアフィン群は可換ホップ代数と１対１に対応する。とくに有限生成可換ホップ代数と対応するアフィン群をアフィン代数群または単に代数群とよぶ。k が標数ゼロの代数閉体であれば、これは線形代数群と一致する。この函手的見地に立てば、代数群のスーパー化は自動的。例えばアフィン群の定義において（可換代数）を（スーパー可換代数）に拡張して定義されるのがスーパー・アフィン群である。これを主に、対応するスーパー可換ホップ代数を通して研究した。柴田大樹（筑波大ＤＣ）との共同研究で、可換環上のスーパー代数群について、そのハリシュ-チャンドラ対を用いた構成法と、表現圏についての基礎的結果を得た。
一方、同じ見地から代数群の量子化、すなわち量子群が定義される。量子群とは(非可換な)ホップ代数に対応する何者か、ホップ代数そのものをその実体と思ってもよい。津野祐司（千葉工大）との共に普遍性をもつ量子群の閉埋入について研究した。
また、微分方程式のガロア理論、すなわちピカール・ヴェシオ理論、の量子化について、梅村浩名誉教授（名古屋大学）の協力の下、研究した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
柴田との共同研究で、スーパー代数群とハリシュ-チャンドラ対の間の圏同値を、一般の可換環上で示すことができた。この結果の応用が、期待していた以上に得られた。
一方、津野との共同研究において、"双対度数" d > 1 の普遍量子群から同度数無限大の普遍量子群への閉埋入のcleft性について、肯定的結果が得られたものの、d = 1 の場合は未解決。
梅村教授の協力で始まった、量子ピカール・ヴェシオ理論は、当初計画していなかった研究ではあるが、まだ自明な微分体上の成果に留まっている。
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| Strategy for Future Research Activity |
柴田との共同研究で得られた、スーパー代数群とハリシュ-チャンドラ対の間の圏同値を、任意標数の完備付値体上のスーパー・リー群とハリシュ-チャンドラ対の間の圏同値に拡張する。
津野との共同研究において、前述の残った場合を完成させる。
梅村教授の協力で得られた、自明な微分体上の量子ピカール・ヴェシオ理論の結果を、一般の微分体上のそれに拡張する。
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