2017 Fiscal Year Annual Research Report
Study of Riemannian surfaces from novel point of view
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26400061
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| Research Institution | Rikkyo University |
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Principal Investigator |
西納 武男 立教大学, 理学部, 准教授 (50420394)
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2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 変形理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成29年度は, これまでに研究に引き続き, 研究計画に基づいて多様体の退化の観点からリーマン面の研究を進めた。以前研究したK3曲面上の正則曲線の構成に関連して, 退化した曲線から出発してなめらかな曲線を構成した時, その変形の収束半径がどの程度になるかの評価を得た。また, 退化したK3曲面で一般のものに対し, 古典的な位相に関して稠密な退化した有理曲線の族を構成した。一般でないK3曲面に対して同様の構成を行う時の困難さと複素力学系との関係を考察した。一方, トロピカル幾何学において変形理論が有効に機能することの要因は曲線の半正規性にあるという理解をもとに, 多様体の退化を用いずにトロピカル幾何的な構成を行うことを試みた。結果として, K3曲面やアーベル曲面上の曲線の構成について, 知られているものよりも簡潔な議論によりより強い結果を得ることができた。
研究期間全体では, トロピカル幾何における考え方を敷衍して, 種々の多様体上で正則曲線の構成を主に行った。この構成はほぼ全て変形の障害がある場合の変形理論に基づいており, 従来のトロピカル幾何における議論では扱うことができない。この点を克服するために, 退化した状況において曲線の変形の障害を表すコホモロジー群を計算し, 実際の障害がどこから生じるかを明らかにした。その結果多くの場合に障害の具体的な計算が可能になり, 従来知られていない状況で正則曲線を構成, 分類することができた。それに基づいて, アーベル曲面における正則曲線と周期的なトロピカル曲線の対応の証明や, K3曲面上で非常に多くの有理曲線の構成を行うことができた。さらに, 高次元多様体上の正則曲線についての結果も得られた。
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