2014 Fiscal Year Research-status Report
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26400087
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
佐治 健太郎 神戸大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (70451432)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 特異点 / 波面 / 曲率 / 特異点の認識問題 / 線織面 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
特異点の判定法に関して、モラン特異点の判定法を研究した。定義域の次元より像域の次元が小さい場合のモラン特異点の判定法を得た。判定法は写像の与えられた定義式の微分係数から容易に判定が出来るような形に書いた。これは、一変数関数の開折の形をしているモラン特異点の特徴をよく表現している。さらにそれを利用して、低次元トポロジーでよく研究されている特異点の有限次分岐図式を得た。
特異点の微分幾何学的研究については、これまで特異点の近辺で様々な微分幾何学的不変量が定義されていたが、それらが内在的か否かを研究し、内在性についてはっきりさせるとともに、内在的なものを指摘した。
判定法の応用として、特異点がある曲面や射影が特異点を持つ場合に関するケンデリンクの定理を研究した。特異点がある場合は曲率が発散するため、通常の形でのケンデリンクの定理は成り立たないが、他の不変量を考えることにより、ケンデリンク型の定理を得た。
超幾何微分方程式の解として得られるドシッター空間内の曲面の特異点について研究し、特異点の条件をもとの微分方程式であらわした。また、ルジャンドル双対性から得られるミンコフスキー空間内の擬球内の線織面の研究を行い、締括線や特異点の条件と特異点の双対性を明らかにした。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の目標であるモラン特異点の判定法を定義域と像域の次元の組が全ての場合で得ることができた。像域の次元が低い場合は従来有効であったヤコビ行列式の役割を果たすものがうまく見つからず、困難とされていた。これに対して、写像の核の生成元による微分からヘッセ行列様のものを作ることにより類似物を得ることができ、判定法を書くことができた。また、それを利用して、通常では作ることが難しい特異点の分岐図式を得ることができた。
波面の特異点の微分幾何的研究や線織面の研究、超幾何微分方程式の解曲面の特異点の研究、特異点付き曲面のケンデリンクの定理などに関しても一定の成果を上げることができた。従って当初の研究計画通りに研究が進行できていると判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成２６年度に得られた成果に引き続き特異点の判定法とその応用について研究する。判定法については、通常よりも退化している特異点に関して扱う。また、特異点の微分幾何学的研究・線織面・ケンデリンクの定理の研究も引き続き行う。そのために、特異点論・微分幾何学・低次元トポロジーの専門家達との研究連絡を行う。また、本年度に得られた成果を研究集会で発表し、様々な専門性を持つ参加者から指摘を受けて研究の方向性の参考にする必要がある。
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| Causes of Carryover |
年度末に計画していた研究連絡について、研究の進捗状況が順調であったため、年度末に会うよりも、年度を超えて少し経った後に会って研究連絡を行ったほうが効果的であると判断したため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
当初予定していた研究連絡を本年度始まってすぐ行い、繰越分は使用する。その他の助成金は当初の計画通り国内・国外の専門家たちとの研究連絡に利用する。また、得られた結果の幾何的意味を考察する際にコンピューターや可視化プログラムが必要となった場合は購入する必要がある。さらに、様々な知識を得るため、関連図書の購入も必要である。
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Research Products
(11 results)
