2017 Fiscal Year Annual Research Report
Deepening singularity theory and low dimensional geometry
| Project/Area Number |
26400087
|
|---|
| Research Institution | Kobe University |
|---|
Principal Investigator |
佐治 健太郎 神戸大学, 理学研究科, 准教授 (70451432)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
|
| Keywords | 特異点 / 曲面論 / 表現公式 / カスプ的交差帽子 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
特異点の微分幾何学的不変量を調べる研究を行った。
そのためには、与えられた特異点に対して定義域の座標変換と像域のSO(3)の元による座標変換によってどのようなモジュライが残るかを調べることが重要となる。ホイットニーの傘とカスプ辺特異点に対してはどのくらいモジュライが残るかは知られていたが、本年度、ツバメの尾特異点に対して2変数関数分のモジュライが現れることを示した。さらに似た性質を有する他の特異点に対してもどのくらいモジュライが残るのかを明らかにした。
また、モジュライの低次の項の微分幾何的意味を調べ、ガウス曲率や平均曲率の有界性との関係がある既知の不変量との関係を明らかにした。また、平均曲率は一般に特異点では発散するが、どのように発散するかは特異点の種類によって異なる。正則曲面の場合に、与えられた平均曲率を持つ曲面の研究は数多く行われている。これを、特異点を許す場合に関して一般化した。まず、特異点付きの計量と特異点で発散する関数を与える。特異点付きの計量については、近年研究されているコソーフスキー計量と呼ばれる波面の計量に対応するものを考える。これらに対して、正則点における平均曲率が与えられた関数に一致し、誘導計量がコソーフスキー計量に一致するような波面を具体的に構成する公式を得た。さらに、回転面に関しても与えられた発散する平均曲率を持つものを実現する断面曲線を具体的に与えた。また、与えられた平均曲率から、断面曲線の特異点がどのように定まるかを明らかにした。
さらに、カスプ的交差帽子上の関数の分類と微分幾何的意味の関係を明らかにした。
|
