2014 Fiscal Year Research-status Report
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26400123
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| Research Institution | Tokyo Woman's Christian University |
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Principal Investigator |
大阿久 俊則 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (60152039)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | D加群 / 微分方程式 / 超関数 / アルゴリズム / 数式処理 / 積分 / 局所コホモロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
D加群とは線形（常および偏）微分方程式系を代数的にとらえた概念である。これによって微分方程式に関する問題を代数の言葉に翻訳することが可能となる。これは理論上だけでなく実際の計算の観点からも重要である。微分方程式を解析学の枠組みで取り扱う場合には極限の概念が本質的であるが、たとえば計算機では極限を正確に計算することはできない。一方で代数学は加減乗除などの有限の演算を基礎としているため、微分方程式を代数的に捉えることにより具体的かつ厳密な計算を実行することが可能となる。このような方法により微分方程式に関連した種々の問題を計算機で正確に計算するためのアルゴリズムの構築とその応用について次のような成果を得た。
1. 微分方程式を満たす関数をホロノミック関数と呼ぶ。超幾何関数、ベッセル関数などの重要な関数の多くはホロノミック関数である。ホロノミック関数の多項式不等式で定義された領域上での積分が満たす微分方程式系を求めるアルゴリズムの改良を行った。従来の方法では被積分関数と積分領域の定義関数との積の満たす微分方程式系の計算がボトルネックになることが多かったが、この計算ステップについてのより効率的なアルゴリズムを見出し、数式処理システム Risa/Asir 上でプログラムを作成した。
2. 実多変数多項式の複素冪を超関数とみなして、冪についてのローラン展開の係数を求めることは、解析学、特異点理論、整数論など種々の分野と関連する興味深い問題である。このローラン展開の係数が超関数として満たす微分方程式系を導出するアルゴリズムを見出し、数式処理システム Risa/Asir 上でプログラムを作成した。さらにこのプログラムを用いた計算実験から、多項式の零点が正規交差になる場合についての一般的な結果を予想し証明することができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
D加群のアルゴリズムを応用して、複素冪と呼ばれる超関数のローラン展開の係数の満たす微分方程式を計算し、それによって一般的な結果を予想し証明することができた。これは本研究課題の目標を一つの問題について達成したことになる。
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| Strategy for Future Research Activity |
D加群についての新たなアルゴリズムや既存のアルゴリズムの改良を行って、それらを国産の数式処理システム Risa/Asir 上で実現することにより、さらに広汎な問題に対して計算機による具体的かつ正確な計算を可能にすることをめざす。具体的には、
1. 種々の具体的なホロノミック関数の満たす微分方程式系を計算機で求めることによりある程度一般的な結果を予想し、その証明をめざす。
2. 多項式の複素冪のローラン係数の満たす微分方程式系を計算実験と理論の両面から考察して新たな知見を得る。
3. 局所コホモロジーについてアルゴリズムと理論の両面から研究し、新たな知見を得る。
などを目標とする。そのために、既存のアルゴリズムの数式処理システム上での実現と改良、それを用いた計算実験、それに基づいた理論的考察を推し進める。さらに局所コホモロジーについては、スペインのF.Castro氏との研究連絡を継続し、緊密な情報交換を行う。
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