2016 Fiscal Year Research-status Report
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26400123
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| Research Institution | Tokyo Woman's Christian University |
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Principal Investigator |
大阿久 俊則 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (60152039)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | D加群 / ホロノミック系 / 確率密度関数 / アルゴリズム / グレブナー基底 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. ホロノミック系と呼ばれる強い線形微分方程式系を満たす関数をホロノミック関数という。 理論上も応用上も重要な関数の多くはホロノミック関数である。特に正規分布やガンマ分布などの重要な確率密度関数がホロノミックであることに着目して、ホロノミックな密度関数を持つ確率変数についての任意の多項式関数について、その確率密度関数の満たすホロノミック系を計算するアルゴリズムを見いだした。さらに多項式関数の特性関数の満たすホロノミック系を求めることもできる。これによって簡単な場合には、たとえば正規分布に従う確率変数の多項式の確率密度関数やその特性関数を具体的に求めることができる。このような例をコンピュータによっていくつか見出した。またこのアルゴリズムの正当性についてD加群理論を用いて厳密な証明を与えた。その際、次項の局所化アルゴリズムが有効に用いられた。
2. D加群の多項式に関する局所化と局所コホモロジーについて、理論と計算の両方の観点から研究した。特にD加群の多項式に関する局所化と局所コホモロジーを計算するための新たなアルゴリズムを見出した。これは柏原正樹により導入された一般化b関数と密接に関わっていることを、多項式係数の微分作用素環上の加群の枠内で証明した。また一般化b関数の完全なアルゴリズムを導き種々の実例についての計算結果を得た。さらに多項式環の超平面配置による局所化のD加群の意味での重複度が、超平面配置に付随するポアンカレ多項式で与えられることを示した。
3. 多項式の複素数べきで定義される超関数の留数が超関数として満たすホロノミック系を求めるアルゴリズムを見出し、具体例の計算を実行した。さらに計算実験によって正規交差の場合のホロノミック系の具体形を予想し、それを証明した。これらは特異点を持つ超曲面に台を持つようなデルタ関数に相当するため種々の応用が期待される。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題の目標のうちの多くについて解決の糸口が得られた。今までに得られた結果をまとめた論文のうち２篇が既に出版され、３篇が印刷中である。さらに、最近得られた結果を論文として執筆中である。
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| Strategy for Future Research Activity |
1.超関数の積分についてのアルゴリズム的な研究と重要な実例の計算を進める。特に、比較的簡単なファインマンダイアグラムに関するファインマン積分やファインマン相空間積分の満たすホロノミック系の具体的な計算をめざす。実際の計算はD加群の積分アルゴリズムを用いて行われるが、一般に計算量が膨大となり、理論上も実際の計算上も工夫が必要である。計算の簡略化や効率化について、理論とプログラミングの両面から検討を進める。
2.多項式を位相関数、ホロノミック関数を振幅関数とする振動積分に対してD加群の見地からの研究を行う。D加群の積分アルゴリズムを用いて具体例の計算を行うとともに、D加群の理論を用いて振動積分の漸近挙動を解明することを目指す。
3.超曲面の特異点と関連するD加群と超関数について更に研究を進める。
4.確率密度関数の満たすホロノミック系の計算アルゴリズムを応用して、統計学において有用な数値計算を行う。
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| Causes of Carryover |
数式処理ソフトウェアを購入する予定だったが、見積もりを取ったところ残額をオーバーしており購入できなかったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
数式処理ソフトウェアを購入する。
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