2014 Fiscal Year Research-status Report
時間に依存する制約条件付き偏微分方程式の適切性の研究
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26400138
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
松本 敏隆 広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 助教 (20229561)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小林 良和 中央大学, 理工学部, 教授 (80092691)
渡邉 紘 サレジオ工業高等専門学校, その他部局等, 准教授 (30609912)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 適切性 / 弱連続作用素 / リプシッツ発展作用素 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
（１）時間に依存する抽象発展方程式の研究および弱連続作用素に対する抽象Cauchy問題の研究
2つのBanach空間の直和空間における時間に依存する線形非斉次抽象発展方程式の初期値問題の可解性の研究を行った。線形作用素の定義域に共通に含まれる補助空間を用いた議論が従来行われているが、本研究では線形作用素の定義域は稠密でなく、非斉次項の値域が線形作用素の定義域の閉包に含まれないため、従来の理論の枠には収まらない。空間の直和構造に即した条件を導入することで補助空間での近似解の安定性を示した。この結果は、方程式が半線形、準線形の場合への準備に当たるものである。また、連携研究者と共に非線形作用素が弱連続な場合に弱解が存在するための必要十分条件を与えた。本研究の結果は、Kato-Lai(1984)の結果を拡張したものであり、応用として非線形シュレディンガー方程式や波動方程式の初期値・境界値問題の弱微分可能な解の存在を示した。
（２）変数係数を持つ強退化放物型方程式の可解性の研究
分担者の渡邉は、非線形拡散項が空間変数と時間変数に依存する強退化放物型方程式に対する初期値問題のエントロピー解の一意存在を証明した。従来のエントロピー対の代わりにChen-Karlsenに倣ったエントロピー三組みを導入し、エントロピー不等式が超関数の意味で成立することを示した。有界変動関数の空間で構成した解が、エントロピー不等式を満たすことを示すことで解の一意性を得た。
（３）リプシッツ発展作用素の生成理論の研究
分担者の小林は、係数が時間に依存する場合の非線形偏微分方程式への幅広い応用を目指してバナッハ空間におけるリプシッツ発展作用素の生成理論の精密化を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度の実施計画に挙げた積空間におけるリプシッツ発展作用素の生成理論の研究については、非回帰的Banach空間における線形非斉次問題にほぼ適用可能な所まで条件が整備されてきている。現在、分散型方程式・波動方程式への応用を目指して回帰的Banach空間の場合への拡張の研究を進めている。また、非線形シュレディンガー方程式および波動方程式の可解性への応用に関しては、アプローチが異なるが弱連続作用素に対する初期値問題を考察し、エネルギー法の抽象化に当たる手法を用いて弱微分可能な解の存在を示した。以上のことから、おおむね良好に進んでいると考えている。
退化放物型方程式に対する研究では、係数が時間変数・空間変数に依存する場合の初期値問題に対するエントロピー解を導入し、エントロピー解の一意存在を示している。さらに、かなり複雑な非線形初期値・境界値問題である非等温条件の下での結晶粒界モデルの解の存在を示すことに成功しており、かなり良好な結果が得られていると考えている。
以上の結果は、本研究計画で目指している時間依存する項を含む偏微分方程式の適切性の研究とそのためのツールとしてのリプシッツ発展作用素の生成理論の開発の基礎となるものであり、研究全体としておおむね順調に進展していると判断している。
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| Strategy for Future Research Activity |
現在おおむね順調に計画が進んでいるため、今後も互いの所属機関を訪問して研究分担者、連携研究者と緊密に協力して研究を進めてゆく。前年度からの継続として、回帰的Banach空間に線形非斉次発展方程式の適切性の研究を進めると共に、これまでの研究成果を踏まえて特に非線形性境界条件を持つ半線型分散型方程式、並びに波動方程式の適切性の研究をリプシッツ発展作用素の生成理論の開発と関連付けて行う。また、時間依存係数を持つ退化放物型方程式や、準線形方程式である結晶粒界モデルの適切性の研究も引き続き進めていく。さらに、研究集会等へ参加して最新の研究に関する情報収集や成果発表を行うと共に、他大学から関連する分野の専門家を招いてセミナー等で専門的知識の提供を受けることも計画している。
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| Causes of Carryover |
年度後半に予定していた分担者との研究打合せや情報収集のための研究集会への参加が、都合が付かなくなって取りやめたため次年度使用金が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
研究代表者の所属機関の移動が決定しており、それに伴って移管出来なかった書籍などの備品および消耗品などの研究に必要な物を新に揃える必要があるため、繰越金も合わせて購入費用に当てたいと考えている。それ以外は、計画通りに所属機関を訪問して研究分担者との研究打ち合わせ、研究集会等へ参加して最新の研究に関する情報収集や成果発表のための旅費に用いる。また、他大学から関連する分野の専門家を招いてセミナーを開催し、専門的知識の提供を受けるための費用に用いる計画である。
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