2016 Fiscal Year Annual Research Report
New perspective on Riemann surfaces of infinite genus and their deformation spaces
| Project/Area Number |
26610014
|
|---|
| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
|---|
Principal Investigator |
志賀 啓成 東京工業大学, 理学院, 教授 (10154189)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
藤川 英華 千葉大学, 大学院理学研究科, 准教授 (80433788)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
|
| Keywords | 関数論 / トポロジー / Hyperbolic geometry / Teichmuller space / Riemann surface |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
Riemann面の変形理論においては、従来は擬等角写像がその中心的な役割を果たして来た。本研究ではその方向性とともに、Riemann面自体が固有に持つ解析的幾何的な普遍量の変化を捉えることで、新たな研究の方向性を志向した。そのために、Harnack距離などRiemann面上の様々な調和函数から定義される不変距離について、ポアンカレ距離との比較からいくつかの不等式とその等号条件を導き、その応用としてRiemann面のMartin境界の構造について新たな知見を得た。これは、特に種数無限大のような理想境界が複雑なRiemann面においてポテンシャル論的に有用な結果である。
さらに、Riemann面をパラメータ空間とする正則運動がリーマン球面の正則運動に拡張できるための必要十分条件を正則運動のmonodromyを用いて与えた。これは擬等角変形の枠組みの中の研究ではあるが、monodromyというトポロジカルな概念から考察を加えたものである。
また、Riemann面とその上の可算無限個の点集合の組みに対する擬等角変形空間を考案し、新しいタイヒミュラー空間を導入した。そして、このタイヒミュラー空間が複素構造を持つ状況について考察した。これは、Riemann面と可算無限個の点集合に対するある幾何学的な条件下で可能であり、実際、点集合の外部として得られる無限型Riemann面に対するタイヒミュラー空間の複素構造から自然に誘導されるものである。この研究は、上述の正則運動をさらに一般化して、これをRiemann面の集合に対するものへと進展させる研究の起点になるものである。同時に点集合の可算無限性を非可算にすることなどでRiemann面の複雑性をさらに増す場合の問題など、興味ある研究課題を提起することにもなっている。
|
