2014 Fiscal Year Research-status Report
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26800062
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| Research Institution | Aoyama Gakuin University |
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Principal Investigator |
岩尾 慎介 青山学院大学, 理工学部, 助教 (70634989)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | トロピカル幾何 / Totally Positive matrix / 特異曲線 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年の研究実績は以下の２つである：
１．戸田格子方程式と呼ばれる行列タイプの常微分方程式の、相空間の正値性について研究した。一般に、一口に「方程式の相空間の正値性」と言っても、考えている方程式、問題によって、どの性質を「正」と呼ぶかは、必ずしも明らかでない。本研究では、戸田方程式の正値性を論じた論文「Yuji Kodama, Lauren Williams, The Full Kostant–Toda Hierarchy on the Positive Flag Variety, (Comm. in Math. Phys.) 2015, Vol. 335(1), pp 247-283」の結果を発展させ、「行列のtotally positivity = 戸田方程式の正値性」との考えの元、戸田方程式の相空間の正値性を論じた。その副産物として、戸田方程式のスペクトル曲線に付随する一般化ヤコビ多様体の正部分(positive part)を定義し、一般化ヤコビ多様体の正部分と三重totally positive matrix との間の、興味深い全単射写像を構成することに成功した。
２．１．の部分で得られた全単射は、単に多項式写像であるだけでなく、負号を含まない多項式写像(subtraction-free polynomial map)であることを証明した。Subtraction-free polynomial map は、組み合わせ論、トロピカル代数との関係が深く、今後の応用が期待される。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
初年度である本年度の目的は、申請者のこれまでの実績（古典可積分系とトロピカル幾何の関係についての研究）を踏まえて、より発展させた内容、問題を発掘することであった。本年度に取り組んだ「可積分系の相空間の正値性」という問題は多くの研究者が既に意識しているものの、行列のtotally positivity や特異曲線の理論を関連付けた仕事は（私の知る限り）新しく、今後の発展が期待される分野であると思われる。本年度、申請者の得た結果は、この方面の仕事への先鞭をつけるもので、価値があると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度の結果を踏まえ、以下の問題に取り組みたい：
１．本年度の戸田格子方程式に関する結果を拡張し、より一般的な古典可積分系方程式の相空間の正部分について論じること。
２．Puiseux 行列のtotally positivity と、Puiseux 行列のPerron-Frobeniusの問題。
３．上記の問題のトロピカル化と、トロピカル幾何学との関係。
４．問題の性質上、膨大な数式処理が必要となるため、必要に応じてコンピュータプログラムの知識をつける。
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