1987 Fiscal Year Annual Research Report
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62540026
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| Research Institution | Niigata University |
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Principal Investigator |
吉原 久夫 新潟大学, 教養部, 助教授 (60114807)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
田島 慎一 新潟大学, 教養部, 講師 (70155076)
芹沢 久光 新潟大学, 教養部, 助教授 (00042771)
渡辺 道昭 新潟大学, 教養部, 教授 (90018573)
竹内 照雄 新潟大学, 教養部, 助教授 (10018848)
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| Keywords | 平面曲線 / 尖点 / ミルナー数 / 正規特異点 / 一般型代数曲面 / 3重被覆 |
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| Research Abstract |
複素射影平面をP^2とし, その中にある既約代数曲線をCとする. Cの次数をdとし, 特異点として重複度が3以下の尖点のみの特別な場合にCの存在について考察する. 即ち, 古典的にはプリュッカーの関係式というものを満すことがわかっているのであるが, その他にも満すべき新しい関係式を求めることを目標とした今の場合, μを特異点でのミルナー数の総和とするとき, 7μ<6d^2-9dという結果を得ることができた. 数値の組みの中にはプリュカーの関係式を満たすが, この不等式は満たさないというものが存在する. この結果はProc.Amer.Math.Soc.に発表される予定である. 一方例えば, d=9で尖点の重複点がすべて3である有理曲線が存在するかどうかという問題には上記不等式では答えられない. そこでdが3の倍数3eのとき, ちょうどCで分岐するP^2の3重被覆Sを考える. Sの特異点はCの尖点に対応した正規特異点だけであり, それの最小特異点除去S^^〜を考察することができる. S^^〜についてピカール数等を調べることによって5μ<39e^2-27e+6という不等式を得ることができて, d=9のときの上の問題を解決できる. それのみならずS^^〜自体の考察により新しい一般型代数曲面が得られることが判明した. これは当初全く予想していなかった副産物であった. 曲面の3重被覆の研究は, ごく少数なされているだけで, そういう意味からしてもS_〜の具体的研究は価値が少なくないと思われる.
これからの計画としては, まず尖点の重複度が一般のときの不等式を求めること. あるいはCが尖点のみをもつ有理曲線のとき尖点の個数の上限を求める事などがある. 特異点が尖点でない時の考察は複雑すぎて今のところ全く展望がない.
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