| Research Abstract |
当初の計画では, 落合が代表者で超準解析学を中心に研究を進める予定であったが, 体調をくずしたために, 緒方が途中で代表者に交代した. 従って, 研究実績は, 緒方と柳原の成果が主となった. 更に, この研究は2年継続なので, 1年目はそれぞれの分担面での研究を進め, 2年目に統括することとした. 本年の成果は次の通りである.
緒方は次のような成果を得た.
ΩをR^Nの外部領域, その境界をδΩとするとき, 次の問題を考える.
(E)-Σ^^N__<ij=1>Di(a_<iδ>(x)D_jU)=f(x,u,vu) inΩ, Σ^^N__<ij=1>a_<iδ>(x)ao(v,x_j)Diu+b(x)u=g(x,u)orδΩ,
ただし, Di=δ/δx_i, vu=(D_1,u_1,D_2u,…,D_Nu), υはΩに関して外法線.
〔問題〕(E)で, supersolution U^^<^>, subsolution U^^-(U^^-<<U^^<^>)が存在し, かつf_1gがそれぞれ次の条件を満すとき, (E)の解の個数を調べる.
α【reverse surface chemistry arrow】0,1〕, s【reverse surface chemistry arrow】0,00〕, t【reverse surface chemistry arrow】^Nに対し, f(x,αs,αt)≧αf(x,s,t), g(x,αs)≧αg(x,s)
〔結果〕(E)は次のような無限個の解{Ui}をもつ.
^^-<<U_1<<U_2<<…<<U_i<<…<<U^^<^> inΩ^^-
〔方法〕(E)をnonliuear operator equationで表わすとき, このoperatorがmonotonicityをもつように工夫し, 又U^^-とU^^<^>とのlower contactのidearを導入して調べる.
柳原は次のような成果を得た.
sをdescreteなparameterとするとき, ヒルベルト空間で次の方程式を考える.
(F)(dx(t))/(dt)=F(s)x(t)+G(s)u(t),y(t)=H(s)x(t), ただし, Xをヒルベルト空間, x(t)【reverse surface chemistry arrow】w,u(t【reverse surface chemistry arrow】b^n,y(t)【reverse surface chemistry arrow】b^mとする. このとき, 同型写像の関係によって, continuous familiesのclassificationについて, 成果を得た.
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